6.1 二次型的定义与矩阵表示

约 269 字小于 1 分钟

2026-01-10

引例：在 $xOy$ 平面上，任一中心在原点的二次曲线方程如下：

ax^2 + bxy + cy^2 = d

含有变量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的二次齐次多项式：

f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n d_{ij}x_i x_j

称为一个二次型，简称 $n$ 元二次型。

令 $a_{ij} = \frac{1}{2} d_{ij} = a_{ji} \quad (i < j)$ ， $a_{ii} = d_{ii}$ 。则二次型可表示为：

f(x_1, x_2, \dots, x_n) = [x_1, x_2, \dots, x_n] \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = X^T AX

称 $A$ 为二次型的矩阵表示， $r(A)$ 称为二次型的秩。

重要

题目中给出的 $X^T AX$ 不一定就是二次型的矩阵表示。只要 $A$ 不是对称矩阵就不是。

解决方法：利用 $f = \frac{1}{2}(X^T AX + X^T A^T X) = \frac{1}{2} X^T(A + A^T)X$ 使其对称化。

更新日志

2026/1/10 09:20

查看所有更新日志