Modenc

外观

3.2 基、维数和坐标

约 635 字大约 2 分钟

2025-11-12

重要

这一节内容必考，而且很容易出错，需要小心一些

一、基

定义3.2.2

若α1,…,αm∈V\alpha_1,\dots,\alpha_m \in V满足：

  1. α1,…,αm\alpha_1,\dots,\alpha_m线性无关
  2. VV中任意α\alpha均可由α1,…,αm\alpha_1,\dots,\alpha_m线性表出 则称α1,…,αm\alpha_1,\dots,\alpha_m是VV的一组基， mm 是 VV 的 维数 ，记作 dim⁡(V)\dim(V)。

例3.2.8：若r(A)=rr(A)=r，则N(A)N(A)是Fn\mathbb{F}^n的子空间，X1,…,Xn−rX_1,\dots,X_{n-r}是N(A)N(A)的一组基。

定理3.3.3

dim⁡N(A)+dim⁡R(AT)=n\dim N(A) + \dim R(A^T) = n

推论

  1. α1,…,αm\alpha_1,\dots,\alpha_m的极大无关组是L(α1,…,αm)L(\alpha_1,\dots,\alpha_m)的一组基
  2. dim⁡[L(α1,…,αm)]=r(α1,…,αm)\dim[L(\alpha_1,\dots,\alpha_m)] = r(\alpha_1,\dots,\alpha_m)

自然基：

  1. Rn\mathbb{R}^n：ε1,ε2,…,εn\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n（单位坐标向量）
  2. F[x]n\mathbb{F}[x]_n：1,x,x2,…,xn−11,x,x^2,\dots,x^{n-1}
  3. Rm×n\mathbb{R}^{m \times n}：[10…000…0⋮⋮⋮00…0],[01…000…0⋮⋮⋮00…0],…\begin{bmatrix}1&0&\dots&0\\0&0&\dots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\dots&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&1&\dots&0\\0&0&\dots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\dots&0\end{bmatrix},\dots

二、坐标

定义3.2.3

若α=a1α1+⋯+anαn\alpha = a_1\alpha_1 + \dots + a_n\alpha_n，则(a1,a2,…,an)(a_1,a_2,\dots,a_n)为α\alpha的坐标。

例：求α\alpha关于基α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3的坐标：

构造A=[α1 α2 α3]TA = [\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3]^T，显然，由于 AA 由基向量构成，r(A)=3r(A)=3（即AA可逆）， 则A[x1x2x3]=αA\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \alpha，即[x1x2x3]=A−1α\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = A^{-1}\alpha。

三、基变换与坐标变换

设基α1,…,αm\alpha_1,\dots,\alpha_m到基β1,…,βm\beta_1,\dots,\beta_m的变换为：

{β1=a11α1+a21α2+⋯+am1αm⋮βm=a1mα1+a2mα2+⋯+ammαm\begin{cases}\beta_1 = a_{11}\alpha_1 + a_{21}\alpha_2 + \dots + a_{m1}\alpha_m\\\vdots\\\beta_m = a_{1m}\alpha_1 + a_{2m}\alpha_2 + \dots + a_{mm}\alpha_m\end{cases}

令A=[a11a12…a1m⋮⋮⋮am1am2…amm]A = \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1m}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mm}\end{bmatrix}，则：

[β1 β2 … βm]=[α1 α2 … αm]A[\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_m] = [\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_m]A

（[α1 … αm][\alpha_1\ \dots\ \alpha_m]：老基；[β1 … βm][\beta_1\ \dots\ \beta_m]：小（新）基；AA：老基到小基的过渡矩阵）

性质：

  1. 过渡矩阵是可逆的
  2. 过渡矩阵唯一
  3. α→β\alpha \to \beta基对应的过渡矩阵：AA；β→α\beta \to \alpha基的过渡矩阵：A−1A^{-1}

定理（坐标变换公式）

若α1,…,αn\alpha_1,\dots,\alpha_n到β1,…,βn\beta_1,\dots,\beta_n的过渡矩阵为AA，α\alpha在α1,…,αn\alpha_1,\dots,\alpha_n下的坐标为(x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n)， 则在β1,…,βn\beta_1,\dots,\beta_n下的坐标(y1,…,yn)(y_1,\dots,y_n)满足：

[y1y2⋮yn]=A−1[x1x2⋮xn]\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{bmatrix} = A^{-1}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}

维数公式

dim⁡(W1+W2)+dim⁡(W1∩W2)=dim⁡(W1)+dim⁡(W2)\dim(W_1+W_2) + \dim(W_1 \cap W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2)

证明思路：

设 dim⁡(W1∩W2)=r, dim⁡(Wi)=ri (i=1,2)\dim(W_1 \cap W_2)=r,\ \dim(W_i)=r_i\ (i=1,2)， 取 W1∩W2W_1 \cap W_2 的基 {α1,…,αr}\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\}， 分别扩充为 W1W_1 的基 {α1,…,αr,β1,…,βr1−r}\{\alpha_1,\dots,\alpha_r,\beta_1,\dots,\beta_{r_1-r}\}、 W2W_2 的基 {α1,…,αr,γ1,…,γr2−r}\{\alpha_1,\dots,\alpha_r,\gamma_1,\dots,\gamma_{r_2-r}\}， 证明 {α1,…,αr,β1,…,βr1−r,γ1,…,γr2−r}\{\alpha_1,\dots,\alpha_r,\beta_1,\dots,\beta_{r_1-r},\gamma_1,\dots,\gamma_{r_2-r}\} 是 W1+W2W_1+W_2 的基， 则：

dim⁡(W1+W2)=r+(r1−r)+(r2−r)=r1+r2−r\dim(W_1+W_2) = r + (r_1-r) + (r_2-r) = r_1 + r_2 - r

更新日志

2025/11/12 09:53
查看所有更新日志
  • 328d0-docs: update于
  • 6961a-docs: update于