本课关键点

• 引入 矩阵 的概念
• 将线性方程组与矩阵相关联的思想
• 推广中学处理多元方程组时加减消元法

矩阵的分类

• 按照形状分
  • 行矩阵
  • 列矩阵
  • 方阵
  • 零矩阵
• 对应方程组
  • 系数矩阵（只包含系数）
  • 增广矩阵（包含常数项）

方程组的 初等变换 与矩阵的 初等行变换

首先这是两个概念，不要搞混——两种变换的主体并不相同。

这俩概念都包含三种操作：

• 倍乘
  • 符号表示“将非零常数 $c$ 乘到矩阵的第 $i$ 行”：$cR_{i}$
• 倍加
  • 符号表示“将矩阵的第 $i$ 行所有元素乘以 $k$ 倍之后再加到 第 $j$ 行”：$R_j + kR_{i}$
• 交换
  • 符号表示“交换矩阵的第 $i$ 行和第 $j$ 行”：$R_{ij}$

经过初等变换的线性方程组与原方程组称为同解方程组。

利用矩阵 & Gauss 消元法 解线性方程组的通法

1. 将方程组变换为矩阵
2. 利用初等行变换从上到下依次消元，把矩阵便车能阶梯形
3. 得到阶梯形方程组
4. 回代求解

Gauss 消元示例（带部分主元）

初始增广矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 3 & 8\\ 2 & 2 & 1 & 3\\ 1 & 3 & 4 & 11 \end{array}\right]$$

Step 1 选主元：第 1 列绝对值最大元为 2（第 2 行），交换第 1、2 行：

$$\xrightarrow{R_{12}} \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 3 & 8\\ 1 & 3 & 4 & 11 \end{array}\right]$$

Step 2 消去第 3 行第 1 列元：$R_3 \leftarrow R_3 - \frac12 R_1$

$$\xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-\frac12 R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 3 & 8\\ 0 & 2 & \frac72 & \frac{19}{2} \end{array}\right]$$

Step 3 消去第 3 行第 2 列元：$R_3 \leftarrow R_3 - R_2$

$$\xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 3 & 8\\ 0 & 0 & \frac12 & \frac32 \end{array}\right]$$

回代：

• 由第 3 行：$\frac12 x_3 = \frac32 \Rightarrow x_3 = 3$
• 由第 2 行：$2x_2 + 3x_3 = 8 \Rightarrow x_2 = -\frac12$
• 由第 1 行：$2x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 \Rightarrow x_1 = \frac12$

解：

$$\boxed{ x_1=\frac12,\quad x_2=-\frac12,\quad x_3=3 }$$

利用行简化阶梯形矩阵简化运算

1、2步相同，不过在第三步：

1. 让所有主元所在的列的其余元素均为 $0$
2. 得到更简化的阶梯形方程组
3. 移项直接得到最终答案

行简化阶梯形（RREF）示例

（接上文 Step 2 结束时的矩阵）

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 3 & 8\\ 0 & 0 & \frac12 & \frac32 \end{array}\right]$$

Step 3 把主元全部变成 1，再消成“上方也 0”。

1. 主元归一：
   $R_3\leftarrow 2R_3,\quad R_2\leftarrow \frac12 R_2,\quad R_1\leftarrow \frac12 R_1$

   $$\xrightarrow[{R_1\leftarrow\frac12 R_1}]{R_3\leftarrow2R_3,\;R_2\leftarrow\frac12 R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & \frac12 & \frac32\\[2pt] 0 & 1 & \frac32 & 4\\[2pt] 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

2. 消第 2 行上方主元（列 3）：
   $R_2\leftarrow R_2-\frac32 R_3$

   $$\xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-\frac32 R_3} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & \frac12 & \frac32\\[2pt] 0 & 1 & 0 & -\frac12\\[2pt] 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

3. 消第 1 行上方主元（列 3）：
   $R_1\leftarrow R_1-\frac12 R_3$

   $$\xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-\frac12 R_3} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 1 & 0 & -\frac12\\[2pt] 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

4. 消第 1 行上方主元（列 2）：
   $R_1\leftarrow R_1-R_2$

   $$\xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac12\\[2pt] 0 & 1 & 0 & -\frac12\\[2pt] 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

矩阵已化为 行简化阶梯形（RREF），右侧即为解：

$$\boxed{ x_1=\frac12,\quad x_2=-\frac12,\quad x_3=3 }$$

线性方程组的判别定理

这段内容在课本里是十分抽象的，但是总结下来就是中学内容：

唯一解

• 无矛盾方程
• 独立方程个数 = 未知数个数

无解

• 有矛盾方程（阶梯式方程组中出现 $0=1$ 这种东西）

无穷多解

• 无矛盾方程
• 独立方程个数 < 未知数个数

齐次与非齐次线性方程组

常数项全为 $0$ 的就是齐次线性方程组。

解释：

• 多项式的常数项（非零）的次数是 1次
• $0$ 作为一项时没有次数

所以，如果线性方程的常数项为 $0$ ，整个方程仅有1次项，是齐次的；如果有常数项，那么就既包含一次项也包含零次项，不是齐次的。

齐次线性方程组的特性

• 必有一解为“零解”，即所有未知数全为零时的解
• 解的情况仅有两种：无穷解和一解。

🗝️ 重难点：含参线性方程组解的情况的判断

例子

初始矩阵：

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & a & a^2 \\ 1 & a & 1 & a \\ a & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

行变换后得到：

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & a & a^2 \\ 0 & a-1 & 1-a & a-a^2 \\ 0 & 0 & 2-a-a^2 & 1+a-a^2-a^3 \end{bmatrix}$$

特别注意：参数是否为零？

由于分母不可为 $0$ ，所以如果化简带参数的矩阵，应当避免将参数放到分母的位置上。

如果你很叛逆地非要把参数放到分母上去，那么请务必分类讨论参数是否为 $0$ ！

条件讨论：

1. $2-a-a^2 \neq 0$ ，即 $a \neq 1$ 且 $a \neq -2$ ：

   • 方程组：

     $$\begin{cases} x_1 + x_2 + a x_3 = a^2 \\ (a-1) x_2 + (1-a) x_3 = a - a^2 \\ (2-a-a^2) x_3 = 1+a -a^2 -a^3 \end{cases}$$

   • 由于各项系数显然不同时为零，所以上述三个方程是三个独立方程。并且，其中不存在矛盾方程。 因此，这个条件下方程有唯一解。

2. $a = 1$ ：

   • 方程组：

     $$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ 0 = 0 \\ 0 = 0 \end{cases}$$

   • 结论：无穷解。

3. $a = -2$ ：

   • 方程组：

     $$0 \cdot x_3 = 1 + (-2) - (-2)^2 + (-2)^3$$

   • 结论：无解。

⚠️ 注意点

1. 在对矩阵进行初等行变换时，如果出现了全为 $0$ 的行，那么“零行”不能少。这是为了保证矩阵形状一致，直观表示化简前后的差异。
2. 书写变换过程时，不得混用 “ $=$ ”和“ $\rightarrow$ ”；前者代表赋值，而后者才表示变换。
3. 如何选择自由未知数？
   • 不在阶梯形方程组首项（主元）的未知数。

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2025/10/12 14:46

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