性质一： $|A| = |A^T|$。

性质二： 对换行列式的两行（列），行列式变号。

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

推论： 若行列式中有两行（列）相等，则该行列式为 0。

性质三： 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数 $c$，等于用数 $c$ 乘以该行列式。

$$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ c a_{i1} & \cdots & c a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = c \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

注意：

$$|kA| = \begin{vmatrix} ka_{11} & \cdots & ka_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ ka_{n1} & \cdots & ka_{nn} \end{vmatrix} = k^n |A|$$

（$A$ 为 $n$ 阶方阵）。

性质四： 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可以表示为两个行列式之和。

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{s1} + c_{s1} & b_{s2} + c_{s2} & \cdots & b_{sn} + c_{sn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{s1} & \cdots & b_{sn} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ c_{s1} & \cdots & c_{sn} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

性质五： 将行列式的某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。 即：

• $A \xrightarrow{R_i + kR_j} B \implies |A| = |B|$
• $A \xrightarrow{C_i + lC_j} C \implies |A| = |C|$

例： 设 $A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1]$，$B = [2\alpha_1, 2\alpha_2, 2\alpha_3, \beta_2]$。 $A, B$ 都是 4 阶方阵，$|A| = 3$，$|B| = -1$。求 $|A + B|$。 （注：此处例题中 $A+B$ 并非矩阵相加，而是指由特定列构成的行列式）

解：

$$\begin{aligned} |A+B| &= |2\alpha_1, 2\alpha_2, 2\alpha_3, \beta_1 + \beta_2| \\ &= 2^3 |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1 + \beta_2| \\ &= 2^3 (|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1| + |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_2|) \\ &= 2^3 (|A| + |B|) = 16 \end{aligned}$$

（注：按笔记原文计算得 16，体现了性质三与性质四的综合运用）

由此可见，$|A+B| \neq |A| + |B|$ （一般情况下）。

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2026/1/10 06:33

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• 3f2f3-update于 2026/1/10

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贡献者: modenicheng