一些行列式的例子

二阶行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$$

• 行列式不只是符号，其本质是展开后的代数式。

对于一般的一元二次线性方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases}$$

其解为：$x_1 = \frac{D_1}{D}, x_2 = \frac{D_2}{D}$，其中：

$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \quad D_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}, \quad D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} \quad (D \neq 0)$$

三阶行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

一般行列式的计算

定义 4.2.1

$$\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1 \dots j_n} (-1)^{\tau(j_1 \dots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \dots a_{nj_n}$$

其中，$\sum_{j_1 \dots j_n}$ 表示取遍所有 $n$ 阶排列，共有 $n!$ 项。

性质： 若 $j_1=1, j_2=2, \dots, j_n=n$，则该项对应对角线乘积 $a_{11} a_{22} \dots a_{nn}$，符号为 $(-1)^0 = +1$。

定义 4.2.2

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $det(A)$ 或 $|A|$ 为 $n$ 阶行列式。

例：计算三角行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & a_{nn} \end{vmatrix} = |A|$$

分析过程： 考虑到上式展开式：$\sum_{j_1 \dots j_n} (-1)^{\tau(j_1 \dots j_n)} a_{1j_1} \dots a_{nj_n}$

1. 由于 $|A|$ 最后一行只有一个非零元素 $a_{nn}$，所以只有当 $a_{nj_n}$ 中 $j_n = n$ 时，该项才不为零。
2. 类似地，倒数第二行： 由于 $j_n = n$，则 $j_{n-1} \neq n$，故只有 $j_{n-1} = n-1$ 时，$a_{n-1, j_{n-1}} \neq 0$。
3. 依此类推：

   $$a_{ij_i} \neq 0 \Rightarrow j_1 = 1, j_2 = 2, \dots, j_n = n$$

4. 结论：由于行列式对应展开式的每一项列下标都构成 $n$ 阶排列，所以在上三角（或下三角）行列式中，只有主对角线元素的乘积这一项不为零。

$$|A| = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}$$

更新日志

2026/1/10 06:33

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• 3f2f3-update于 2026/1/10

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贡献者: modenicheng