一、矩阵的相似

定义 5.1.1：矩阵的相似

设 $A, B \in \mathbb{C}^{n \times n}$，若存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得：

$$P^{-1}AP = B$$

则称 $A$ 相似于 $B$，记作 $A \sim B$。称 $P$ 为由 $A$ 到 $B$ 的相似变换矩阵。

性质

1. 自反性：$A \sim A$
2. 对称性：$A \sim B \iff B \sim A$
3. 传递性：$A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C$

定义 5.1.2：矩阵的对角化

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若：

$$A \sim \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{bmatrix} = \Lambda$$

则称 $A$ 可对角化，并称 $\Lambda$ 为 $A$ 的相似标准形。

---

二、特征值与特征向量的定义与求法

定义 5.1.3：特征值与特征向量

若对于 $n$ 阶方阵 $A$，存在数 $\lambda$ 与非零向量 $X$，使得：

$$AX = \lambda X \quad \text{或} \quad (\lambda I - A)X = 0$$

则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，$X$ 为对应于 $\lambda$ 的特征向量。

特征值与特征向量的求法

由 $AX_0 = \lambda_0 X_0 \Rightarrow (\lambda_0 I - A)X_0 = 0$。 因为 $X_0 \neq 0$，说明齐次线性方程组有非零解，则必有：

$$|\lambda_0 I - A| = 0$$

由此可见，$\lambda_0$ 是特征方程 $|\lambda I - A| = 0$ 的根。

相关定义：

• 特征矩阵：$\lambda I - A$
• 特征多项式：$f_A(\lambda) = |\lambda I - A|$
• 特征方程：$|\lambda I - A| = 0$

三、特征值与特征向量的性质

性质： 设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A \sim B$，则：

$$|\lambda I - A| = |\lambda I - B|$$

（即相似矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值）。

定理： 设 $A = [a_{ij}]_{n \times n}$，$\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 是其全部特征值，则：

1. $\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$ （迹）
2. $\prod_{i=1}^n \lambda_i = |A|$

推论：

1. $A \sim B \Rightarrow \text{tr}(A) = \text{tr}(B)$
2. 可逆矩阵无零特征值。
3. $A = [a_{ij}]_{ n \times n}$, 若 $AX = 0$ 有非零解（即 $r(A) < n, |A| = 0$），则 $A$ 的特征值必包含至少一个 $0$，且 $0$ 对应的特征向量是 $AX = 0$ 的非零解。 （原因：$(0I - A)X = 0 \Rightarrow AX = 0$）

相似变换下的特征向量关系

设 $A \sim B$，即 $P^{-1}AP = B$。 若 $AX_0 = \lambda_0 X_0 \Rightarrow A = PBP^{-1}$ 则 $PBP^{-1}X_0 = \lambda_0 X_0$$\Rightarrow B(P^{-1}X_0) = \lambda_0 (P^{-1}X_0)$

结论：若 $X_0$ 是 $A$ 对应 $\lambda_0$ 的特征向量，则 $P^{-1}X_0$ 是 $B$ 对应 $\lambda_0$ 的特征向量。

更新日志

2026/1/10 08:47

查看所有更新日志

• 0050c-update于 2026/1/10
• 3f2f3-update于 2026/1/10

编辑此页

贡献者: modenicheng