6.3 惯性定理与规范形

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2026-01-10

定理 6.3.1

任一秩为 $r$ 的二次型均可化为标准形：

b_1 y_1^2 + b_2 y_2^2 + \dots + b_r y_r^2

在复数域内，令 $y_i = \frac{1}{\sqrt{b_i}} z_i \quad (i = 1, \dots, r)$ ，则 $f$ 进一步化为：

z_1^2 + z_2^2 + \dots + z_r^2

称此为复二次型的规范形，它只与秩 $r$ 有关。

任意复二次型均可通过适当的可逆线性变换 $X = CY$ 化为：

C^T AC = \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}_{n \times n}

在实数域内，实二次型可化为：

b_1 y_1^2 + \dots + b_p y_p^2 - b_{p+1} y_{p+1}^2 - \dots - b_r y_r^2 \quad (b_i > 0)

令 $z_i = \sqrt{b_i} y_i \quad (i = 1, \dots, r)$ ，进一步化为：

z_1^2 + \dots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \dots - z_r^2

其中：

任意实二次型均可由可逆线性变换化为规范形，且规范形（即正、负惯性指数的个数）是唯一的。

$1 (-1)$ 平方项的个数分别为 $p$ 和 $r - p$ 。称正惯性指数为 $p$ ，负惯性指数为 $r - p$ 。 $p - (r - p) = 2p - r$ 称为符号差。

2026/1/10 09:20

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