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外观

3.5 欧几里得空间（二）

约 765 字大约 3 分钟

2026-01-08

一、内积与度量

定义 3.5.1

设 VV 是 R\mathbb{R} 上的一个线性空间。若对 ∀α,β∈V\forall \alpha, \beta \in V，存在唯一一个实数 k∈Rk \in \mathbb{R}，记为 (α,β)∈V(\alpha, \beta) \in V，且满足以下性质：

  1. 对称性：(α,β)=(β,α)(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)
  2. 线性性：
    • (kα,β)=k(α,β)(k\alpha, \beta) = k(\alpha, \beta)
    • (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)(\alpha + \beta, \gamma) = (\alpha, \gamma) + (\beta, \gamma)
  3. 正定性：(α,α)≥0(\alpha, \alpha) \ge 0，且 (α,α)=0⇔α=0(\alpha, \alpha) = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0

则称 (α,β)(\alpha, \beta) 为 α,β\alpha, \beta 的内积。定义了内积的实线性空间 VV 称为欧氏空间。 (扩展：复内积空间记为 V(C)V(\mathbb{C}))

常见内积定义举例

  1. Rn\mathbb{R}^n 空间：(α,β)=a1b1+⋯+anbn(\alpha, \beta) = a_1 b_1 + \dots + a_n b_n
  2. 函数空间 C[a,b]C[a, b]：设 VV 是连续函数空间，其内积可定义为：

    (α,β)=∫abf(x)g(x)dx(\alpha, \beta) = \int_a^b f(x)g(x) dx

  3. 矩阵空间 Rn×n\mathbb{R}^{n \times n}：

    (A,B)=∑i=1n∑j=1naijbij=tr(ABT)(A, B) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ij} = \text{tr}(AB^T)

定义 3.5.2

∀α∈V\forall \alpha \in V，α\alpha 的长度（范数） ∣α∣|\alpha| 定义为：

∣α∣=(α,α)|\alpha| = \sqrt{(\alpha, \alpha)}

注：

  1. α≠0⇒∣α∣≠0\alpha \neq 0 \Rightarrow |\alpha| \neq 0
  2. 单位向量：长度为 1 的向量。
  3. 单位化：将非零向量转化为单位向量的过程。

定义 3.5.3

在欧氏空间中，若 (α,β)=0(\alpha, \beta) = 0，则称向量 α\alpha 与 β\beta 正交（或垂直），记为 α⊥β\alpha \perp \beta。

二、度量矩阵 (Metric Matrix)

在欧氏空间 VV 中有一组基 α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n。对于任意向量 α,β∈V\alpha, \beta \in V，它们的坐标表示分别为：

α=x1α1+x2α2+⋯+xnαn\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n\alpha_n

β=y1α1+y2α2+⋯+ynαn\beta = y_1\alpha_1 + y_2\alpha_2 + \dots + y_n\alpha_n

则它们的内积为：

(α,β)=(∑i=1nxiαi,∑j=1nyjαj)=∑i=1n∑j=1nxiyj(αi,αj)(\alpha, \beta) = \left( \sum_{i=1}^n x_i\alpha_i, \sum_{j=1}^n y_j\alpha_j \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i y_j (\alpha_i, \alpha_j)

由此可得内积的矩阵表达式：

(α,β)=XTAY(\alpha, \beta) = X^T A Y

其中，X=[x1⋮xn]X = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}，Y=[y1⋮yn]Y = \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}，矩阵 AA 定义为：

A=[(α1,α1)⋯(α1,αn)⋮⋱⋮(αn,α1)⋯(αn,αn)]A = \begin{bmatrix} (\alpha_1, \alpha_1) & \cdots & (\alpha_1, \alpha_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (\alpha_n, \alpha_1) & \cdots & (\alpha_n, \alpha_n) \end{bmatrix}

结论：

  1. A=I  ⟺  {α1,…,αn}A = I \iff \{\alpha_1, \dots, \alpha_n\} 是标准正交基。
  2. 称矩阵 AA 为基 {α1,…,αn}\{\alpha_1, \dots, \alpha_n\} 的度量矩阵（也称 Gram 矩阵）。

三、标准正交基

定义、证明同前

（此处笔记标注参考前文关于标准正交基的定义与施密特正交化证明）。

定理 3.5.4

设 ϵ1,ϵ2,…,ϵn\epsilon_1, \epsilon_2, \dots, \epsilon_n 是欧氏空间的一组标准正交基，则：

  1. 若 α=x1ϵ1+⋯+xnϵn\alpha = x_1\epsilon_1 + \dots + x_n\epsilon_n，β=y1ϵ1+⋯+ynϵn\beta = y_1\epsilon_1 + \dots + y_n\epsilon_n，则其内积简化为：

    (α,β)=∑i=1nxiyi(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^n x_i y_i

    （即标准正交基下的内积等于坐标的对应分量乘积之和）。

定理 3.5.5

∀α∈V\forall \alpha \in V，在标准正交基 ϵ1,…,ϵn\epsilon_1, \dots, \epsilon_n 下，向量 α\alpha 均可表示为：

α=(α,ϵ1)ϵ1+(α,ϵ2)ϵ2+⋯+(α,ϵn)ϵn\alpha = (\alpha, \epsilon_1)\epsilon_1 + (\alpha, \epsilon_2)\epsilon_2 + \dots + (\alpha, \epsilon_n)\epsilon_n

（此公式反映了向量在各基向量方向上的投影）。

补充：最小二乘解的唯一性（承接前页）

定理 3.5.3

设 A∈Rm×n,b∈RnA \in \mathbb{R}^{m \times n}, b \in \mathbb{R}^n。若 r(A)=nr(A) = n（即 AA 列满秩），则： 正规方程的系数矩阵 ATAA^T A 与增广矩阵 [ATA,ATb][A^T A, A^T b] 的秩相等且均为 nn，故： AX=bAX = b 有唯一的最小二乘解。

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2026/1/8 10:28
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