1.6 分块矩阵

约 719 字大约 2 分钟

2025-10-13

一、常见分块

按元素排列特性特性分块
$A = \left[ \begin{array}{c|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right]$
右上角是 $I_{3 \times 3}$
左下角是 $O_{1 \times 1}$
按行（列）分
极端情形：
1. 每个元素单独成一个矩阵
2. 所有元素成一个矩阵。

基本原则：简化运算

分块也要转置
$[A_1, A_2, \cdots, A_m]^T = \left[ \begin{array}{c} A_1^T \\ \vdots \\ A_m^T \end{array} \right]$

用可逆矩阵 $P$ 左（右）乘 $A$ 的某行（列）
- $A$ 的所有子块
  $P \left[ \begin{array}{c} P_{11} \\ P_{21} \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} P_{11} \\ P_{21} \end{array} \right]$
  $P = P_1 \cdots P_s$ （ $s$ 次初等行变换）
$A$ 的某行（列）乘一个矩阵 $Q$ 后加到另一行
互换 $A$ 的两行

可用分块矩阵证明。参照课本

A = \left[ \begin{array}{ccc} A_1 & & \\ & \ddots & \\ & & A_n \end{array} \right], \quad A_1, \cdots, A_n \text{均为方阵}

若如果 $A$ 的逆存在，那么

A^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc} A_1^{-1} & & \\ & \ddots & \\ & & A_n^{-1} \end{array} \right]

\left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{array} \right]_{n \times n}

其中，每一个 $[a_{ij}]_{k \times k}$ 均满秩，即 $r([a_{ij}]_{k \times k}) = k$ ，那么我们称上面的方阵叫作顺序主子阵。

则一定有：

$A = LU$ （ $A$ 的三角分解）

其中

L = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ * & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & \cdots & 1 \end{array} \right]

U = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{array} \right], \quad U \text{可逆}

若 $A$ 存在三角分解 $A = LU$ ，该方程组分解为

\left\{ \begin{array}{l} LY = b \quad \text{(前代)} \\ UX = Y \quad \text{(回代)} \end{array} \right.

A \xrightarrow{P_1} \xrightarrow{P_2} \cdots \xrightarrow{P_s} U

$\therefore A = P_1^{-1} \cdots P_s^{-1} U$

那么 $L = P_1^{-1} \cdots P_s^{-1} I$

即 $I \xrightarrow{P_s^{-1}} \xrightarrow{P_{s-1}^{-1}} \cdots \xrightarrow{P_2^{-1}} \xrightarrow{P_1^{-1}} L$

三角分解法将复杂的线性方程组求解转化为两个简单的三角方程组求解，大大简化了计算过程。

2025/11/12 08:01

查看所有更新日志