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2.2 向量组的秩

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2025-10-27

一、向量组的秩

定义 2.3.1

设 α1,…,αm\alpha_1, \ldots, \alpha_m 是 mm 个 nn 维向量组成的向量组。若存在其中 rr 个向量组成的线性无关部分组， 但其中任意 r+1r+1 个向量组成的部分组线性相关，则称 rr 是 α1,…,αm\alpha_1, \ldots, \alpha_m 的秩，记作：r{α1,…,αm}r\{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\}。

定理 2.2.1 向量组 α1,α2,…,αm\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m

  1. 线性相关 ⇔r{α1,…,αm}<m\Leftrightarrow r\{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\} < m
  2. 线性无关 ⇔r{α1,…,αm}=m\Leftrightarrow r\{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\} = m

定义 2.3.2

r{α1,…,αm}=rr\{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\} = r，则 α1,…,αm\alpha_1, \ldots, \alpha_m 中任意 rr 个向量组成的线性无关的部分组都称为极大线性无关组，简称极大无关组

性质

  1. 向量组与其任意一个极大无关组都等价（定理 2.1.2）
  2. 若 {α1,…,αs}⊆{β1,…,βt}\{\alpha_1, \ldots, \alpha_s\} \subseteq \{\beta_1, \ldots, \beta_t\} 则二者极大无关组也等价。

（极大无关组一般不唯一）
r{α1,…,αm}=r{β1,…,βt}r\{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\} = r\{\beta_1, \ldots, \beta_t\}

定理 2.2.2

若 α1,…,αs\alpha_1, \ldots, \alpha_s 可由 β1,…,βt\beta_1, \ldots, \beta_t 线性表出，则 r{α1,…,αs}≤r{β1,…,βt}r\{\alpha_1, \ldots, \alpha_s\} \leq r\{\beta_1, \ldots, \beta_t\}

等价定义 1

设 αi1,αi2,…,αir\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \ldots, \alpha_{i_r} 是 α1,…,αm\alpha_1, \ldots, \alpha_m 的一个部分组。

若：

  1. αi1,…,αir\alpha_{i_1}, \ldots, \alpha_{i_r} 线性无关。
  2. αi1,αi2,…,αm\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \ldots, \alpha_m 可由 αi1,…,αir\alpha_{i_1}, \ldots, \alpha_{i_r} 线性表出。

则 αi1,αi2,…,αir\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \ldots, \alpha_{i_r} 是极大无关组。

等价定义 2

条件与 1 相同：

  1. αi1,αi2,…,αir,αj(j=1,…,m)\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \ldots, \alpha_{i_r}, \alpha_j \quad (j=1, \ldots, m) 线性相关

二、向量组的秩与矩阵的秩

  • 矩阵 {列向量组→列秩行向量组→行秩\begin{cases} \text{列向量组} \rightarrow \text{列秩} \\ \text{行向量组} \rightarrow \text{行秩} \end{cases}

矩阵的秩 = 列秩 = 行秩。

定理 2.2.3 （行/列）初等变换不改变行向量组、列向量组的秩

定理 2.2.4 An×nA_{n \times n}，则 AA 可逆 ⇔r(A)=n⇔\Leftrightarrow r(A) = n \Leftrightarrow 行/列向量组线性无关

定理 2.2.4.1 (P111)

A=[α1,α2,…,αm]A = [\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m]
行变换 →B=[β1,β2,…,βm]\rightarrow B = [\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m]

则 AA 中任意 kk 个列向量线性相关性与 BB 中对应 kk 个列向量相同。

求极大无关组：α1,…,αn\alpha_1, \ldots, \alpha_n

设 A=[α1T,…,αnT]A = [\alpha_1^T, \ldots, \alpha_n^T]
AA 行变换 →[η1,η2,…,ηn]\rightarrow [\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_n]
其中，η\eta 组列向量构成行简化阶梯矩阵。如

[10101011020001100000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

则 r(A)=3r(A) = 3，η1,η2,η4\eta_1, \eta_2, \eta_4 是 η\eta 组向量组的极大无关组。
α\alpha 向量组的极大无关组是 α1,α2,α4\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4。
由于 η3=η1+η2\eta_3 = \eta_1 + \eta_2, η5=η1+2η2+η4\eta_5 = \eta_1 + 2\eta_2 + \eta_4，
则有 α3=α1+α2\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2, α5=α1+2α2+α4\alpha_5 = \alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_4。

定理 2.2.5 设 Am×pA_{m \times p}，Bp×nB_{p \times n}

则 r(AB)≤min⁡{r(A),r(B)}r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}。

证明：
Hint: [α1,…,αp][bij]p×n=[∑i=1pbi1αi…∑i=1pbinαi][\alpha_1, \ldots, \alpha_p][b_{ij}]_{p \times n} = \left[ \sum_{i=1}^{p} b_{i1} \alpha_i \quad \ldots \quad \sum_{i=1}^{p} b_{in} \alpha_i \right]

设 γj=∑i=1pbijαi(j=1,2,…,n)\gamma_j = \sum_{i=1}^{p} b_{ij} \alpha_i \quad (j=1,2,\ldots,n)
γj\gamma_j 可由 α\alpha 向量组线性表出。
则 r{γ1,…,γn}≤r{α1,…,αp}r\{\gamma_1, \ldots, \gamma_n\} \leq r\{\alpha_1, \ldots, \alpha_p\}

小结

  1. 齐次方程组有无非零解
  2. 向量组的秩
  3. 线性表出
  4. 其它

例 A2=AA^2 = A，证：r(A)+r(A−I)=nr(A) + r(A-I) = n

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2025/10/27 04:08
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