1. 线性运算

基础概念

同型

指两个矩阵行数和列数分别相等，都是 $m \times n$ 的矩阵。

相等

模仿数学家的口吻：我们说两个矩阵相等，如果：

$$m = p \text{且} n = q \\ a_{ij} = b_{ij} \text{，其中} i = 1,2,\ldots,m \text{；} j = 1,2,\ldots,n$$

矩阵的对角线

• 主对角元：$a_{11}, a_{22}, ... , a_{nn}$
  • 主对角元的连线就是主对角线
• 次对角线
  • 另一条对角线

注

如果矩阵不是正方形，对角线仍然是斜向下 45° 和斜向上 45° 的两条线

特殊矩阵

• 方阵
  • 数量矩阵：主对角元均为相同的数，而其他位置均为 $0$ 。如

    $$\begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$$

    其中k为任意常数。
  • 单位矩阵 （必须是方阵）：主对角元均为 $1$ 的数量矩阵。

    注意

    这里必须是方阵，不然单位矩阵将失去作为 “单位” 的性质——任何矩阵乘以对应的单位矩阵还是其自身。

• 零矩阵：顾名思义，所有元素均为 $0$ 的矩阵。
• 上/下三角矩阵。长得像个三角形，故名。
  • 上三角矩阵例子：

    $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$$

  • 下三角矩阵例子（ $0$ 在矩阵中可以省略不写）：

    $$\begin{bmatrix} 1 & & \\ 2 & 3 & \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

数量积

矩阵与数的乘法称为数量积。设 $k$ 是一个数，$A = (a_{ij})_{m \times n}$ 是一个矩阵，则 $kA = (ka_{ij})_{m \times n}$。

例子：

$$2 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$$

加法（减法）

两个同型矩阵可以相加（相减），对应位置的元素相加。 设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$B = (b_{ij})_{m \times n}$， 则 $A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$。

例子

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

减法

只需要加上一个负矩阵就可以了。

2. 🗝️ 重难点： 矩阵乘法

设 $A=(a_{ik})_{m\times s},\; B=(b_{kj})_{s\times n}$。
我们说乘积 $C=AB$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，其元素

$$c_{ij}=\sum_{k=1}^{s} a_{ik}b_{kj}\quad \bigl(i=1,\dots,m;\; j=1,\dots,n\bigr).$$

小例子

$$\begin{aligned} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}_{2\times 3} \begin{bmatrix} 7 & 8\\ 9 & 10\\ 11 & 12 \end{bmatrix}_{3\times 2} \\[6pt] &\quad= \begin{bmatrix} 1\cdot7+2\cdot9+3\cdot11 & 1\cdot8+2\cdot10+3\cdot12\\ 4\cdot7+5\cdot9+6\cdot11 & 4\cdot8+5\cdot10+6\cdot12 \end{bmatrix}_{2\times 2} \\[6pt] &\quad= \begin{bmatrix} 58 & 64\\ 139 & 154 \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

一些小技巧

面对矩阵乘法，希望这个小技巧可以帮你不被绕进去！

1. 先判断结果矩阵的形状

   结果矩阵的行数是第一个矩阵的行数，列数是第二个矩阵的列数。 更直观一点，就是把两个矩阵的下标中，靠外的两个数拿出来！

2. 把结果矩阵每一个位置的运算看作两个向量的数量积！

   具体来说，就是把第一个矩阵对应的行和第二个矩阵对应的列分别看作两个向量， 再把它们乘起来。这样子不容易乘错数。

3. 重复第二步，把整个矩阵算完。

矩阵乘法与线性方程组的联系

线性方程组可以用矩阵乘法的形式简洁地表示。考虑一个包含 $m$ 个方程和 $n$ 个未知数的线性方程组：

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

这个方程组可以写成矩阵形式：

$$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$$

其中：

• $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$ 是系数矩阵
• $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$ 是未知数向量
• $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$ 是常数项向量

矩阵乘法 $A\mathbf{x}$ 的结果正好等于方程组的左边部分，这使得我们可以用简洁的矩阵形式来表示整个线性方程组。

注意

1. 通常矩阵乘法 左乘 与 右乘 结果不同。所以在等式两边同时乘一个矩阵时，必须保证位置一样。
2. 矩阵乘法 不满足 交换律和消去律（参照下面的“注意”块）.
3. 两个不为零矩阵的矩阵相乘，不能推出二者的积不为零矩阵。例：

   $$\begin{bmatrix} a & a \\ -a & -a \end{bmatrix}_{2\times 2} \begin{bmatrix} b & -b \\ -b & b \\ \end{bmatrix}_{2\times 2}$$

在处理有关乘法的问题时，务必注意：

注意

1. 一般地，$AB \neq BA$
   • $AB$ 有意义，但 $BA$ 不一定有意义Blue Archive 怎么不算（.
   • 即使 $AB$ 、 $BA$ 都有意义，二者不一定同型，不一定相等.
   • 特例：
     • 0矩阵.
     • 数量矩阵.
     • 单位矩阵.
2. $A \neq 0$，$B \neq 0 \nRightarrow AB \neq 0$
3. $AB = AC$，$A \neq 0$ 不能导出 $B = C$.

3. 矩阵多项式和方阵的幂

多数性质和定义可类比实数定义推出。此处省略。

需要注意的是：

注意

矩阵多项式“常数项”应该是 $a_0\bold{I}$，这样才能保证每一项矩阵的形状相同，矩阵加法有意义。

4. 矩阵的转置

例：

$$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ & \lambda & 1 \\ & & \lambda \end{bmatrix}^k$$

提示：拆分： $\lambda I + \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

• $1 \times 1$ 矩阵可视为一个数.

例： $A = BC$，

$$B = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

$$A^{101} = (BC)(BC)\cdots(BC) \quad (100个)$$

$$= B\underbrace{(CB)(CB)\cdots C}_{100个}$$

$$= B (2I)^{100} C = 2^{100} BC$$

注：一般地，

1. $(AB)^k \neq A^k B^k$
2. $(A + B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$
3. $A^2 - B^2 \neq (A + B)(A - B)$当且仅当 $AB = BA$，上述三式取等.

1.3.4 转置

• $A$：$m \times n$ 矩阵.
• $A^T$：$n \times m$ 矩阵.

例： $AA^T = 0$，证 $A = 0$证：

$$AA^T = \begin{bmatrix} c_{11} & & \\ & c_{22} & \\ & & \ddots & \\ & & & c_{mm} \end{bmatrix} = 0$$

$$c_{ii} = a_{i1}^2 + a_{i2}^2 + \cdots + a_{im}^2 = 0$$

$\therefore$ 同理 $a_{ij}$ 均为0

性质：$A, B$是符合要求的任意两个矩阵，$k$是任意数.

1. $(A^T)^T = A$
2. $(A + B)^T = A^T + B^T$
3. $(kA)^T = kA^T$
4. $(AB)^T = B^T A^T$；$(ABC)^T = C^T B^T A^T$

对称与反对称矩阵

• 定义：
  • 对称矩阵：$A^T = A$
  • 反对称矩阵：$A^T = -A$
• 对任意方阵$A$，都有：

  $$A = \frac{1}{2}(A + A^T) + \frac{1}{2}(A - A^T)$$

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2025/10/12 14:46

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