齐次线性方程组：$AX = 0$

$$X = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \quad A = [\alpha_1, \ldots, \alpha_n], \quad 0 = XA$$

$$\Rightarrow x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + \cdots + x_n \alpha_n = 0$$

结论

若 $AX = 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 线性相关 $\Leftrightarrow r(A) < n$

定理 2.3.1 $AX = 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow r(A) < A$ 的列数

性质：$X_1, X_2$ 是 $AX = 0$ 任意两个解向量

1. $X_1 + X_2$ 是解
2. $kX_1$ 是解（$k$ 为任意常数）

$\downarrow$
拓展：$k_1 X_1 + k_2 X_2 + \cdots + k_s X_s$ 也是解。

定义：设 $X_1, X_2, \ldots, X_t$ 是 $AX = 0$ 的 $t$ 个解。若

1. $X_1, X_2, \ldots, X_t$ 线性无关。
2. $AX = 0$ 任意一个解可由 $X_1, \ldots, X_t$ 线性表出。

$\Rightarrow X_1, \ldots, X_t$ 是一个基础解系。

定理 2.3.2 设 $A_{m \times n}$，若 $r(A) < n$，则 $A$ 有基础解系，且它包含 $n - r$ 个解向量

求法： $AX = 0$

1. $A$ 行 $\rightarrow$ 阶梯形矩阵
2. 不妨设 $x_{r+1}, x_{r+2}, \ldots, x_n$ 为自由未知数。
3. 特解：
   ① $x_{r+1} = 1$, $x_{r+2} = 0, \ldots, 0$ $\Rightarrow X_1$
   ② $x_{r+1} = 0$, $x_{r+2} = 1, \ldots$ $\Rightarrow X_2$
   ③ $x_{r+1} = x_{r+2} = \cdots = 0$ $\Rightarrow x_{r+3} = 1$ $\Rightarrow X_3$
4. 一般解： $X = k_1 X_1 + k_2 X_2 + \cdots + k_{n-r} X_{n-r}$

例 2.3.3（结论）设 $A_{m \times n}$，且 $r(A) < n$

则 $AX = 0$ 任意 $n - r$ 个线性无关的解向量均构成一个基础解系。

例 2.3.4 设 $A_{m \times n}$，$a_{ij} \in \mathbb{R}$，证

$r(A^T A) = r(A A^T) = r(A)$

1. $AX = 0$
2. $A^T A X = 0$

思路

1. $AX = 0$ 有基础解系
   (Ⅰ), (Ⅱ) 同解 $\Leftrightarrow n - r(A) = n - r(A^T A)$
2. $AX = 0$ 仅有零解
   $\Leftrightarrow r(A) = n = r(A^T A)$

取 (Ⅱ) 一个解 $X_0$
则 $A^T A X_0 = 0$
$\Rightarrow X_0^T A^T A X_0 = X_0^T 0 = 0$
$\Rightarrow (AX_0)^T (AX_0) = 0$

设 $AX_0 = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T$
$\Rightarrow (b_1, b_2, \ldots, b_m) (b_1, \ldots, b_m)^T = b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_m^2 = 0$
$\Rightarrow b_1 = \cdots = b_m = 0$
$\Rightarrow AX_0 = 0$，$\therefore X_0$ 是 (Ⅰ) 的解。

取 (Ⅰ) 的一个解 $X_1$, $AX_1 = 0$
则 $A^T A X_1 = A^T \cdot 0 = 0$

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2025/11/12 08:51

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