1.4. 可逆矩阵

• 定理1.4.8 (1.3.8)
  1. $r(A) = r(A^T)$
  2. $r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)$，其中$r(P_{m \times m}) = m$，$r(Q_{n \times n}) = n$。
• 定义1.4.1：设$A$是$n$阶方阵，若$\exists B_{n \times n}$，使$AB = BA = I$，则$A$为可逆矩阵，$B$为$A$的逆矩阵，记为：$A^{-1} = B$。
• 证明思路：用反证法。 设$AB_{1} = B_{1}A = I$，$AB_{2} = B_{2}A = I$，则$B_{1} = B_{1}I = B_{1}AB_{2} = IB_{2} = B_{2}$，与假设矛盾。
• 注：可逆矩阵一定为方阵，但方阵不一定都可逆。
• 初等矩阵的逆： ① $\left[E_{ij}(c)\right]^{-1} = E_{ij}(c^{-1})$ ② $\left[E_{ij}(k)\right]^{-1} = E_{ij}(-k)$ ③ $E_{ij}^{-1} = E_{ji}$
• 定理1.4.4：设$A$为方阵，则$\exists A^{-1} \iff A$满秩
  • 推论：$A,B$为同阶方阵，若$AB = I$或$BA = I$，则$A^{-1} = B$
• 性质：设$A_{n \times n}$，$0$矩阵且$A^{-1}$存在
  1. $A^{-1}$也可逆，且$(A^{-1})^{-1} = A$
  2. $A^T$也可逆，且$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
  3. 若$B_{n \times n}$且$B^{-1}$存在，则$AB$也可逆，且$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ $\color{red}{例1.4 11}$
  4. $(A^m)^{-1} = (A^{-1})^m$
• 如何判断是否可逆？如何求逆？
  1. 利用定义1.4.1
  2. 用初等行（列）变换
  3. 用上述4条性质
• 对角矩阵的逆：$a_1,a_2,\dots,a_n \neq 0$时，

  $$\begin{bmatrix} a_1 \\ & a_2 \\ & & \ddots \\ & & & a_n \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} a_1^{-1} \\ & a_2^{-1} \\ & & \ddots \\ & & & a_n^{-1} \end{bmatrix}$$

• 注：
  1. $A,B$ 可逆时，$A+B$ 不一定可逆
  2. $kA$可逆，$\frac{1}{k} A^{-1}$（$k \neq 0$）

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2025/10/9 15:19

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