一、线性变换的定义

定义 3.7.1

线性空间 $V$ 到自身的线性映射称为 $V$ 上的线性变换。

• 零变换 $\underline{0}$：$\underline{0}(\alpha) = \theta, \forall \alpha \in V$。
• 恒等变换 $\epsilon$：$\epsilon(\alpha) = \alpha, \forall \alpha \in V$。

定义 3.7.2（逆变换）

设 $\sigma$ 是线性变换，若存在线性变换 $\tau$ 使得 $\sigma\tau = \tau\sigma = \epsilon$，则称 $\sigma$ 是可逆的，记 $\tau = \sigma^{-1}$。

• $\sigma$ 可逆 $\iff$ $\sigma$ 是双射。

定理 3.7.1

可逆线性变换的逆变换也是线性变换。

线性变换的运算

设 $\sigma, \tau$ 是 $V$ 上的线性变换，$k \in F$：

1. 加法：$(\sigma + \tau)(\alpha) = \sigma(\alpha) + \tau(\alpha)$
2. 乘法：$(\sigma\tau)(\alpha) = \sigma(\tau(\alpha))$
3. 数乘：$(k\sigma)(\alpha) = k\sigma(\alpha)$

• 所有线性变换构成的集合关于上述运算构成一个线性空间，记为 $L(V)$。

二、线性变换的矩阵表示

例：若 $\sigma(\alpha) = A\alpha$，则 $A$ 就是 $\sigma$ 在自然基下的矩阵表示。

定理 3.7.3

设 $\sigma \to A, \tau \to B$，则： i) $\sigma + \tau \to A + B$ ii) $k\sigma \to kA$ iii) $\sigma\tau \to AB$ iv) $\sigma$ 可逆 $\iff$ $A$ 可逆。

定理 3.7.4（坐标变换与相似）

设 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 和 $\beta_1, \dots, \beta_n$ 是 $V$ 的两组基， 线性变换 $\sigma$ 在这两组基下的矩阵表示分别为 $A$ 和 $B$。若从第一组基到第二组基的过渡矩阵为 $P$，则：

$$B = P^{-1}AP$$

此时称矩阵 $A$ 与 $B$ 相似。

特征值与特征向量

定义 3.7.3

设 $\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换。若对于 $F$ 中一个数 $\lambda$，存在非零向量 $\alpha \in V (\alpha \neq \theta)$ 满足：

$$\sigma(\alpha) = \lambda\alpha$$

则称 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的特征值，$\alpha$ 是属于 $\lambda$ 的特征向量。

定理 3.7.5

$\sigma$ 在某个基下的矩阵表示是对角矩阵 $\iff$ $\sigma$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

第三章 小结

1. 基、维数、坐标：线性空间的核心度量。
2. 生成子空间、解空间：子空间的两种构造方式。
3. 标准正交向量组：欧氏空间中的特殊基（由施密特正交化得到）。
4. 正交矩阵：保持内积不变的矩阵。
5. 线性变换的矩阵表示：将抽象映射转化为具体的矩阵运算（相似变换）。

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2026/1/10 06:33

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贡献者: modenicheng