一、矩阵的秩（rank）

• 简记：主元个数.
• 书面记法：$r(A)$

性质：

1. $r(A) = 0$ 当且仅当 $A = 0$
2. $r(A_{m \times n}) \leq \min\{m, n\}$
3. 初等行变换不改变$r(A)$

满秩、降秩：

• 定义：设$A$为$n$阶方阵，若：
  • $r(A) = n$，满秩.
  • $r(A) < n$，降秩.
• 若$A_{m \times n}$：
  • $m < n$，$r(A) = m$，行满秩.
  • $m > n$，$r(A) = n$，列满秩.

定理1.4.2 证明： 设 $r(A_{n \times n}) = n$.

$$A \to \begin{bmatrix} b_{11} & * & \cdots & * \\ & b_{22} & \cdots & \vdots \\ & & \ddots & \\ & & & b_{nn} \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{bmatrix} = I$$

二、初等变换

• 初等列变换：$C_{ij}$，$kC_i$，$C_i + kC_j$
• 矩阵的初等变换 $\begin{cases} 行变换 \\ 列变换 \end{cases}$

定义：$A$相抵于$B$，如果$A$可以通过有限次初等变换变为$B$，记为$A \cong B$.

• 这是等价关系，性质：

  1. 反身性（自反性）
  2. 对称性
  3. 传递性

• $A_{m \times n}$，$r(A) = r$ 的相抵标准形：$\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

三、初等矩阵

• 定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵.
• 易混淆：非 初等矩阵
• 三类初等矩阵：$R_{ij(k)}$（行变换）、$E_{ij}$（换行列）、$C_{ij(k)}$（列变换）

定理1.4.4：

• 行变换 $\rightarrow$ 左乘
• 列变换 $\rightarrow$ 右乘

性质

1. $E、T$ 均是初等矩阵。
2. 初等矩阵是满秩矩阵，满秩矩阵的乘积也是满秩。
3. 对任一初等矩阵 $P$，必存在一个初等矩阵 $Q$ 使 $PQ = I$。

• 对2.的解释：$\begin{cases} E_{ij}(c)E_{ij}(c^{-1}) = I \\ E_{ij}(k)E_{ij}(-k) = I \\ E_{ij}^{-1} = E_{ji} \end{cases}$（交换）

• 定理1.4.6 (PPT 1.3.6)$A \sim T_{r}\left[I_{r}\right]_{m \times n}, B \sim T_{s}\left[I_{s}\right]_{m \times n}$$A \cong B \iff \exists r(1 \leq r \leq m), r(1 \leq r \leq n), P A Q = B$

• 定理1.4.7 (1.3.7)$A = T_{r}\left[I_{r}\right]_{m \times n}, B = T_{s}\left[I_{s}\right]_{m \times n}$$A \cong B \iff r(A) = r(B) = r$

• 定理1.4.5 (PPT 1.3.5)：满秩阵均可表示成若干初等矩阵的乘积。

• 证明：设$A$为满秩方阵，则$A \stackrel{初等行变换}{\sim} I$，故对$A$和$I$做同样的初等行变换为$P_{1}P_{2}\dots P_{s}A = I$， 即$P_{1}P_{2}\dots P_{s} = A^{-1}$，故$A = P_{s}^{-1}\dots P_{2}^{-1}P_{1}^{-1}$， 而$P_{i}^{-1}$仍为初等矩阵，$\therefore A = Q_{1}Q_{2}\dots Q_{s}$，其中$Q_{i}$为初等矩阵。

更新日志

2025/10/1 00:54

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• e884f-docs: update于 2025/10/1