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4.4 行列式按行（列）展开

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2026-01-10

定义 4.4.1

在 nn 阶行列式 ∣a11…a1n⋮⋱⋮an1…ann∣\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} 中划去元素 aija_{ij} 所在的第 ii 行、第 jj 列，共 2n−12n-1 个元素后，得到的 n−1n-1 阶行列式：

Mij=∣a11…a1,j−1a1,j+1…a1n⋮⋮⋮⋮ai−1,1…ai−1,j−1ai−1,j+1…ai−1,nai+1,1…ai+1,j−1ai+1,j+1…ai+1,n⋮⋮⋮⋮an1…an,j−1an,j+1…ann∣M_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \dots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \dots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \dots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \dots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}

称为元素 aija_{ij} 的余子式，记为 MijM_{ij}。 同时称 (−1)i+jMij(-1)^{i+j} M_{ij} 为元素 aija_{ij} 的代数余子式，记为 AijA_{ij}。

定理 4.4.1

nn 阶行列式 DD 有：

D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in}

其中 AijA_{ij} (j=1,2,…,nj=1,2,\dots,n) 是第 ii 行元素 aija_{ij} 的代数余子式。

例：证明 Vandermonde 恒等式

∣1…1a1ana12an2⋮⋮a1n−1…ann−1∣=∏1≤j<i≤n(ai−aj)\begin{vmatrix} 1 & \dots & 1 \\ a_1 & & a_n \\ a_1^2 & & a_n^2 \\ \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} & \dots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le j < i \le n} (a_i - a_j)

证： 当 n=2n=2 时，∣11a1a2∣=a2−a1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a_1 & a_2 \end{vmatrix} = a_2 - a_1。 假设恒等式对 n−1n-1 阶成立，现证对 nn 阶同样成立。 对行列式进行变换： Rn+(−an)Rn−1R_n + (-a_n)R_{n-1}, Rn−1+(−an)Rn−2R_{n-1} + (-a_n)R_{n-2}, …\dots, R2+(−an)R1R_2 + (-a_n)R_1 得到：

∣1…11a1−an…an−1−an0(a1−an)a1…(an−1−an)an−10⋮⋱⋮⋮(a1−an)a1n−2…(an−1−an)an−1n−20∣\begin{vmatrix} 1 & \dots & 1 & 1 \\ a_1-a_n & \dots & a_{n-1}-a_n & 0 \\ (a_1-a_n)a_1 & \dots & (a_{n-1}-a_n)a_{n-1} & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ (a_1-a_n)a_1^{n-2} & \dots & (a_{n-1}-a_n)a_{n-1}^{n-2} & 0 \end{vmatrix}

按最后一列展开，得：

(−1)n+1∣a1−an…an−1−an(a1−an)a1…(an−1−an)an−1⋮⋱⋮(a1−an)a1n−2…(an−1−an)an−1n−2∣(-1)^{n+1} \begin{vmatrix} a_1-a_n & \dots & a_{n-1}-a_n \\ (a_1-a_n)a_1 & \dots & (a_{n-1}-a_n)a_{n-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (a_1-a_n)a_1^{n-2} & \dots & (a_{n-1}-a_n)a_{n-1}^{n-2} \end{vmatrix}

提取每列公因子 (aj−an)(a_j-a_n)：

(−1)n+1(∏j=1n−1(aj−an))∣1…1a1…an−1⋮⋱⋮a1n−2…an−1n−2∣(-1)^{n+1} \left(\prod_{j=1}^{n-1}(a_j-a_n)\right) \begin{vmatrix} 1 & \dots & 1 \\ a_1 & \dots & a_{n-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^{n-2} & \dots & a_{n-1}^{n-2} \end{vmatrix}

根据归纳假设，上式等于：

(−1)n+1(∏j=1n−1(aj−an))(∏1≤j<i≤n−1(ai−aj))(-1)^{n+1} \left(\prod_{j=1}^{n-1}(a_j-a_n)\right) \left(\prod_{1 \leq j < i \leq n-1}(a_i-a_j)\right)

注意到 ∏j=1n−1(aj−an)=(−1)n−1∏j=1n−1(an−aj)\prod_{j=1}^{n-1}(a_j-a_n) = (-1)^{n-1}\prod_{j=1}^{n-1}(a_n-a_j)，因此：

(−1)n+1(−1)n−1(∏j=1n−1(an−aj))(∏1≤j<i≤n−1(ai−aj))=∏1≤j<i≤n(ai−aj)(-1)^{n+1}(-1)^{n-1}\left(\prod_{j=1}^{n-1}(a_n-a_j)\right)\left(\prod_{1 \leq j < i \leq n-1}(a_i-a_j)\right) = \prod_{1 \leq j < i \leq n}(a_i-a_j)

由数学归纳法，Vandermonde 恒等式对任意正整数 nn 均成立。

分块矩阵行列式

设 A,BA, B 是方阵，则：

  1. P=[AC10B]P = \begin{bmatrix} A & C_1 \\ 0 & B \end{bmatrix}，Q=[A0C2B]Q = \begin{bmatrix} A & 0 \\ C_2 & B \end{bmatrix}， 则 ∣P∣=∣A∣∣B∣|P| = |A||B|，∣Q∣=∣A∣∣B∣|Q| = |A||B|。
  2. 拓展： ∣0As×sBt×t∗∣=(−1)s×t∣A∣∣B∣\begin{vmatrix} 0 & A_{s \times s} \\ B_{t \times t} & * \end{vmatrix} = (-1)^{s \times t} |A||B|。

定理 4.4.2

设 A,BA, B 是 nn 阶方阵，则：

∣AB∣=∣A∣∣B∣ |AB| = |A||B|

行列式计算方法小结：

  1. 对角线（三角化）
  2. 性质变换
  3. 三角降
  4. 降阶（按行/列展开）
  5. 利用矩阵的性质

定理 4.4.3

设 A=(aij)n×nA = (a_{ij})_{n \times n}，则有以下性质：

∑k=1naikAjk=0,i,j=1,2,…,n,(i≠j)\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = 0, \quad i, j = 1, 2, \dots, n, (i \neq j)

说明： 即一行（或一列）的元素与另一行（或另一列）对应元素的代数余子式乘积之和必为 0。其本质是因为这种运算相当于展开了一个有两行（或两列）元素完全相同的行列式。

综合之前的展开定理，可得：

∑k=1naikAjk={∣A∣,i=j0,i≠j\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = \begin{cases} |A|, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases}

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2026/1/10 06:33
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