4.4 行列式按行(列)展开
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2026-01-10
定义 4.4.1
在 n 阶行列式 a11⋮an1…⋱…a1n⋮ann 中划去元素 aij 所在的第 i 行、第 j 列,共 2n−1 个元素后,得到的 n−1 阶行列式:
Mij=a11⋮ai−1,1ai+1,1⋮an1…………a1,j−1⋮ai−1,j−1ai+1,j−1⋮an,j−1a1,j+1⋮ai−1,j+1ai+1,j+1⋮an,j+1…………a1n⋮ai−1,nai+1,n⋮ann
称为元素 aij 的余子式,记为 Mij。 同时称 (−1)i+jMij 为元素 aij 的代数余子式,记为 Aij。
定理 4.4.1
n 阶行列式 D 有:
D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin
其中 Aij (j=1,2,…,n) 是第 i 行元素 aij 的代数余子式。
例:证明 Vandermonde 恒等式
1a1a12⋮a1n−1……1anan2⋮ann−1=1≤j<i≤n∏(ai−aj)
证: 当 n=2 时,1a11a2=a2−a1。 假设恒等式对 n−1 阶成立,现证对 n 阶同样成立。 对行列式进行变换: Rn+(−an)Rn−1, Rn−1+(−an)Rn−2, …, R2+(−an)R1 得到:
1a1−an(a1−an)a1⋮(a1−an)a1n−2………⋱…1an−1−an(an−1−an)an−1⋮(an−1−an)an−1n−2100⋮0
按最后一列展开,得:
(−1)n+1a1−an(a1−an)a1⋮(a1−an)a1n−2……⋱…an−1−an(an−1−an)an−1⋮(an−1−an)an−1n−2
提取每列公因子 (aj−an):
(−1)n+1(j=1∏n−1(aj−an))1a1⋮a1n−2……⋱…1an−1⋮an−1n−2
根据归纳假设,上式等于:
(−1)n+1(j=1∏n−1(aj−an))(1≤j<i≤n−1∏(ai−aj))
注意到 ∏j=1n−1(aj−an)=(−1)n−1∏j=1n−1(an−aj),因此:
(−1)n+1(−1)n−1(j=1∏n−1(an−aj))(1≤j<i≤n−1∏(ai−aj))=1≤j<i≤n∏(ai−aj)
由数学归纳法,Vandermonde 恒等式对任意正整数 n 均成立。
分块矩阵行列式
设 A,B 是方阵,则:
- P=[A0C1B],Q=[AC20B], 则 ∣P∣=∣A∣∣B∣,∣Q∣=∣A∣∣B∣。
- 拓展: 0Bt×tAs×s∗=(−1)s×t∣A∣∣B∣。
定理 4.4.2
设 A,B 是 n 阶方阵,则:
∣AB∣=∣A∣∣B∣
行列式计算方法小结:
- 对角线(三角化)
- 性质变换
- 三角降
- 降阶(按行/列展开)
- 利用矩阵的性质
定理 4.4.3
设 A=(aij)n×n,则有以下性质:
k=1∑naikAjk=0,i,j=1,2,…,n,(i=j)
说明: 即一行(或一列)的元素与另一行(或另一列)对应元素的代数余子式乘积之和必为 0。其本质是因为这种运算相当于展开了一个有两行(或两列)元素完全相同的行列式。
综合之前的展开定理,可得:
k=1∑naikAjk={∣A∣,0,i=ji=j
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