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外观

5.3 实对称矩阵的相似对角化

约 885 字大约 3 分钟

2026-01-10

一、实对称矩阵的特征值和特征向量

复矩阵的运算

注

接下来这一小节所有的讨论均在复数域进行。

设 A=[aij]A = [a_{ij}]，Aˉ=[aˉij]\bar{A} = [\bar{a}_{ij}]（共轭矩阵）：

  1. Aˉ‾=A\overline{\bar{A}} = A
  2. kA‾=kˉAˉ\overline{kA} = \bar{k} \bar{A}
  3. A+B‾=Aˉ+Bˉ\overline{A+B} = \bar{A} + \bar{B}
  4. AB‾=AˉBˉ\overline{AB} = \bar{A} \bar{B}
  5. (AB‾)T=BˉTAˉT(\overline{AB})^T = \bar{B}^T \bar{A}^T
  6. 若 AA 可逆，A−1‾A=Iˉ=I=1⇒A−1‾=(Aˉ)−1\overline{A^{-1}} A = \bar{I} = I = 1 \Rightarrow \overline{A^{-1}} = (\bar{A})^{-1}
  7. det⁡(Aˉ)=det⁡(A)‾\det(\bar{A}) = \overline{\det(A)}
  8. r(Aˉ)=r(A)r(\bar{A}) = r(A)

推论： 设 X=(x1,x2,…,xn)TX = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T，则 XˉTX=∑i=1nxˉixi≥0\bar{X}^T X = \sum_{i=1}^n \bar{x}_i x_i \ge 0，当且仅当 xi=0x_i = 0 时 XˉTX=0\bar{X}^T X = 0。

定理 5.3.1

实对称矩阵特征值都是实数。

证明： 设 AX0=λ0X0AX_0 = \lambda_0 X_0。 对等式两边同时取转置与共轭： (AX0‾)T=λˉ0Xˉ0T(\overline{AX_0})^T = \bar{\lambda}_0 \bar{X}_0^TXˉ0TAˉT=Xˉ0TA=λˉ0Xˉ0T\bar{X}_0^T \bar{A}^T = \bar{X}_0^T A = \bar{\lambda}_0 \bar{X}_0^T（注：实对称矩阵满足 AˉT=A\bar{A}^T = A） ⇒Xˉ0TAX0=λˉ0Xˉ0TX0\Rightarrow \bar{X}_0^T A X_0 = \bar{\lambda}_0 \bar{X}_0^T X_0⇒Xˉ0T(λ0X0)=λˉ0Xˉ0TX0\Rightarrow \bar{X}_0^T (\lambda_0 X_0) = \bar{\lambda}_0 \bar{X}_0^T X_0⇒(λ0−λˉ0)Xˉ0TX0=0\Rightarrow (\lambda_0 - \bar{\lambda}_0) \bar{X}_0^T X_0 = 0∵Xˉ0TX0≥0\because \bar{X}_0^T X_0 \ge 0，且由于 X0≠θX_0 \neq \theta，故 Xˉ0TX0>0\bar{X}_0^T X_0 > 0。 ∴λ0−λˉ0=0\therefore \lambda_0 - \bar{\lambda}_0 = 0，即 λ0=λˉ0\lambda_0 = \bar{\lambda}_0。 ∴λ0∈R\therefore \lambda_0 \in \mathbb{R}。

定义 5.3.1

  • 实对称矩阵 AA：满足 AT=AA^T = A 且 Aˉ=A\bar{A} = A。
  • Hermite 矩阵：满足 AˉT=A\bar{A}^T = A。实对称矩阵是其一个特例。
  • 例： [11+i1−i2]\begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 2 \end{bmatrix} 是 Hermite 矩阵但不是实对称矩阵。

定理 5.3.2

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量组是正交的。

二、实对称矩阵的相似对角化

定理 5.3.3

实对称矩阵任意特征值的代数重数与几何重数相等。

推论： 任何一个实对称矩阵都可以被对角化。

定理 5.3.4（最重要的两个定理之二）：

对于任何一个 nn 阶实对称矩阵 AA，存在 nn 阶正交矩阵 QQ，使得：

Q−1AQ=diag(λ1,λ2,…,λn)Q^{-1}AQ = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)

例： 设 AA 是 nn 阶实对称矩阵且 A2=AA^2 = A。 证明：存在 nn 阶正交矩阵 QQ 使

Q−1AQ=[1⋱10]Q^{-1}AQ = \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & \\ & & & 0 \end{bmatrix}

即说明 AA 的特征值要么是 1，要么是 0。

证： 由 A2=AA^2 = A 可知

A2−A=0.A^2 - A = 0.

记多项式 f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x，则

f(A)=A2−A=0.f(A) = A^2 - A = 0.

设 λ\lambda 为 AA 的任意一个特征值，则 f(λ)f(\lambda) 为矩阵 f(A)f(A) 的特征值。 因为 f(A)=0f(A) = 0（零矩阵），其所有特征值均为 00，故

f(λ)=λ2−λ=0⇒λ(λ−1)=0.f(\lambda) = \lambda^2 - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda(\lambda - 1) = 0.

因此，

λ=或λ=1.\lambda = \quad \text{或} \quad \lambda = 1.

又因 AA 是实对称矩阵，必可对角化，其相似对角矩阵的对角线元素即为其特征值，故这些元素只能是 00 或 11。

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2026/1/10 08:47
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