定义

• 行向量：$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$

• 列向量：

  $$\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \quad \text{或} \quad (a_1, a_2, \cdots, a_n)^T$$

线性运算

1. 和：$\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维向量

   $$\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = (a_1 + b_1, \cdots, a_n + b_n)$$

2. 数乘：$k\boldsymbol{\alpha}$，$k$ 是数域 $F$ 中任一数

   $$k\boldsymbol{\alpha} = (ka_1, ka_2, \cdots, ka_n)$$

线性相关性

定义：设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量，$k_1, k_2, \cdots, k_m$是任意 $m$ 个数，称

$$\boldsymbol{\beta} = k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m$$

是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 的一个 线性组合。

我们也说，向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可以被向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表出（线性表示）

提示

其实中学阶段学到的 平面向量基本定理 就是二元向量条件下的 线性组合

如何判断向量是某向量组的线性组合

例：$\boldsymbol{\beta} = (3, 2, 1)$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 1, 1)$，$\boldsymbol{\alpha}_2 = (0, 1, 1)$， $\boldsymbol{\alpha}_3 = (0, 0, 1)$ 线性表出。

解：

设向量 $\boldsymbol{\beta} = (3, 2, 1)$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 1, 1)$， $\boldsymbol{\alpha}_2 = (0, 1, 1)$，$\boldsymbol{\alpha}_3 = (0, 0, 1)$ 线性表示，即存在实数 $x_1, x_2, x_3$ 使得：

$$x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + x_3 \boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\beta}$$

代入向量，

$$\begin{bmatrix}3 \\ 2 \\ 1\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$

得$\begin{cases}x_1 = 3 \\ x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 1\end{cases}$

即

$$[\alpha_1^T\ \alpha_2^T\ \alpha_3^T]\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix} = \beta^T$$

接下来，只需要解出此线性方程组，即可得到结论。

1. 方程有解 $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{\beta}$ 向量可被线性表出
2. 方程有唯一解 $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{\beta}$ 向量线性表示唯一
3. 方程无解 $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{\beta}$ 向量不能被向量组 $\boldsymbol{\alpha _1}$ $\boldsymbol{\alpha _2}$ $\boldsymbol{\alpha _3}$ 线性表出

---

定义：设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量，若存在 $m$ 个不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$，使

$$k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0}$$

则称 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关，否则称其 线性无关。

例（结论）：设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为 $n$ 元向量，若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\alpha} = -\frac{k_2}{k_1}\boldsymbol{\beta}$ ， $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 对应分量成比例

例：一个向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$

例：证明 三个向量 线性相关

* 证明方法与 上面 类似，不过是把 $\boldsymbol{\beta}$ 换成 $\boldsymbol{0}$ 罢了

如何判断某向量组线性相关

• 线性齐次方程组有非零解 $\Leftrightarrow$ 系数矩阵的列向量组线性相关。

• 向量组对应线性方程组中，

  • 方程个数 = 向量分量
  • 未知数个数 = 向量个数

例（结论）：$m$ 个 $n$ 维向量 $(m > n)$ 线性相关。

注

这个结论成立的本质原因是因为齐次线性方程组在独立方程个数少于未知数个数时必然有无穷多解

例（结论）：一个向量组中，如果一个部分组线性相关，则整个向量组也线性相关。

例（结论）：包含零向量的向量组线性相关。

定理：$\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_i, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关 $\Leftrightarrow$$\boldsymbol{\alpha}_i$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i-1}, \boldsymbol{\alpha}_{i+1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表出。

定义：$n$ 元基本向量组：$\boldsymbol{e}_i = (0, \cdots, 0, \underset{i-1}{1}, 0, \cdots)$

• $n$ 元基本向量组 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n$ 线性无关。

更新日志

2025/10/19 05:02

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• b7781-docs: update linear-algebra于 2025/10/19