6.2 二次型的标准形与求法

定义 6.2.1 (标准形)

形式如 $b_1 y_1^2 + b_2 y_2^2 + \dots + b_n y_n^2$ 的二次型称为二次型的标准形。

定义 6.2.2 (线性替换与合同)

设线性替换关系为：

$$\begin{cases} x_1 = c_{11}y_1 + \dots + c_{1n}y_n \\ \vdots \\ x_n = c_{n1}y_1 + \dots + c_{nn}y_n \end{cases} \Rightarrow X = CY$$

其中 $C = [c_{ij}]_{n \times n}$。若 $|C| \neq 0$，则称其为可逆线性替换。

定理 6.2.1 (合同变换定理)

可逆线性替换 $X = CY$ 把二次型 $f = X^T AX$ 变为二次型 $g = Y^T BY$，且：

$$B = C^T AC$$

定义 6.2.3 (合同矩阵)

若存在可逆矩阵 $C$，使得 $B = C^T AC$，则称矩阵 $A$ 合同于 $B$，记为 $B \simeq A$。

各种矩阵关系 相似与合同都是相抵的一种特殊情况。

性质 6.2.1 (合同性质)

若 $A \simeq \text{diag}(b_1, \dots, b_n)$，则 $A$ 也合同于该对角元任意排列后的对角矩阵。

即：$A \simeq \text{diag}(b_{j1}, \dots, b_{jn})$。

求法一：配方法

例题：求可逆线性替换使 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1 x_2 + 2x_1 x_3$ 化为标准形。

解： 令 $x_1 = y_1 + y_2, x_2 = y_1 - y_2 \Rightarrow x_1 x_2 = y_1^2 - y_2^2$。 代入得：

$$f = y_1^2 - y_2^2 + 2(y_1 + y_2)y_3 = y_1^2 - y_2^2 + 2y_1 y_3 + 2y_2 y_3$$

进一步配方：

$$= (y_1 + y_3)^2 - (y_2 - y_3)^2$$

再令 $z_1 = y_1 + y_3, z_2 = y_2 - y_3, z_3 = y_3$。 最终得到 $X = C_1 Y, Y = C_2 Z \Rightarrow X = C_1 C_2 Z$。

定理 6.2.2 (配方法原理)

任意二次型必可通过配方法找出一个适合的可逆线性替换化为对角阵形式。

推论：任意实对称矩阵都合同于一个对角阵。

求法二：正交变换法 (仅适用于实二次型)

实二次型对应的矩阵为实对称矩阵。

1. 求 $A$ 的特征值 $\lambda_i$。
2. 求 $A$ 的特征向量并进行正交化、单位化，构造正交矩阵 $Q$。
3. 则 $Q^T AQ = Q^{-1} AQ = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$。 此时变换为 $X = QY$ (称为正交变换)。

例题 6.2.1

设 $f = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2sx_1x_2 + 2tx_1x_3 + 2x_2x_3$，经正交变换 $X = QY$ 化为 $y_2^2 + 2y_3^2$。 (1) 求 $s, t$； (2) 求正交矩阵 $Q$。

解： (1) 注意点：$A$ 的特征值即为标准形 $y_2^2 + 2y_3^2$ 对应的系数，即 $0, 1, 2$。 由此可得特征多项式：

$$|\lambda I - A| = \lambda(\lambda - 1)(\lambda - 2)$$

将行列式展开并对比系数，得方程组：

$$\begin{cases} 2 - s^2 - t^2 = 2 \\ s - st^2 = 0 \end{cases}$$

解得：$s = t = 0$。

(2) 求特征向量并正交化、单位化： 对于特征值 $0, 1, 2$ 分别求得单位特征向量，构造正交矩阵：

$$Q = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

重要

标准形 $\iff$ 特征值的对应关系。

求法三：初等变换法

略。

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2026/1/10 09:20

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• a4ce6-update: 线代第六章 完结撒花 🎉于 2026/1/10

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贡献者: modenicheng