1. 定性的基本定义

定义 6.4.1 (定性分类)

设 $f$ 为 $n$ 元实二次型：

1. 正定 (Positive Definite)：若对 $\forall$ 不全为 0 的实数 $c_1, c_2, \dots, c_n$， 恒有 $f(c_1, c_2, \dots, c_n) > 0$，则称 $f$ 是正定的，矩阵 $A$ 称为正定矩阵。
2. 半正定 (Positive Semi-definite)：若 $f(c_1, c_2, \dots, c_n) \ge 0$。
3. 负定 (Negative Definite)：$f < 0$。
4. 半负定 (Negative Semi-definite)：$f \le 0$。
5. 不定 (Indefinite)：上述四种情况以外的情况。

注

关于零点的区分：

• 正定：$c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0 \iff f = 0$。即零点是唯一的，且 $f(0, 0, \dots, 0) = f_{\min}$。
• 半正定：零点不唯一。

2. 变换性质与推论

定理 6.4.1

可逆实线性替换不改变实二次型的定性。

推论 6.4.1

任何两个合同的实对称矩阵定性相同。

3. 正定二次型的等价条件与性质

定理 6.4.2 (判定正定的四个充分必要条件)

设 $n$ 元实二次型，下列命题等价：

1. 定义法：$f$ 是正定二次型。
2. 惯性指数：正惯性指数 $p = n$（即 $A \simeq I$）。
3. 矩阵分解：$A = B^T B$，其中 $B$ 为可逆实矩阵。
4. 特征值：$A$ 的 $n$ 个特征值全大于 0。

提示

隐含条件：$A$ 正定 $\Rightarrow A$ 必为实对称矩阵。

性质 6.4.1

若 $A$ 正定，则满足：

1. 主对角元 $a_{ii} > 0$。
2. 行列式 $|A| > 0$。

4. 顺序主子式与赫尔维茨判据

定义 6.4.2 (顺序主子式)

设 $A = [a_{ij}]_{n \times n}$，称

$$\Delta_k = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} \end{vmatrix}$$

为 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式。

定理 6.4.3 (Sylvester 准则)

$n$ 元实二次型 $X^T AX$ 正定 $\iff A$ 的各阶顺序主子式均大于 0，即：

$$\Delta_k > 0, \quad k = 1, 2, \dots, n$$

5. 半正定的等价条件

定理 6.4.4

设 $f = X^T AX$，下列命题等价：

1. 定义法：$f$ 是半正定的。
2. 惯性指数：正惯性指数 $p = r(A)$，且 $p < n$。
3. 矩阵分解：存在不可逆实矩阵 $B$，使 $A = B^T B$。
4. 特征值：$A$ 的特征值全部非负，且至少有一个为零。
5. 主子式：各阶主子式全非负，且至少有一个顺序主子式等于零。

注意

重要提醒： 在证明或判断定性时，必须先证矩阵是对称的！

更新日志

2026/1/10 09:20

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• a4ce6-update: 线代第六章 完结撒花 🎉于 2026/1/10

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贡献者: modenicheng