一、非齐次线性方程组解的情况

非齐次线性方程组

$AX = b$

方程组有解 $\Leftrightarrow b$ 可由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 线性表出 $\Leftrightarrow$$\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\} \cong \{\alpha_1, \cdots, \alpha_n, b\}$

$\Leftrightarrow r\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\} = r\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n, b\}$

$\Leftrightarrow r(A) = r(\widetilde{A})$

定理 2.4.1: $AX = b$ 有解 $\Leftrightarrow r(A) = r(\widetilde{A})$

推论1: $r(\widetilde{A}) = r(A) < A$ 的列数时，$AX = b$ 有无穷解

也就是说，当独立方程个数 < 未知数个数时，非齐次线性方程组有无穷解。这是符合自小学以来的认知的。

推论2: $r(A) \neq r(\widetilde{A})$ 时，$AX = b$ 无解

如果出现了上述情况，就意味着系数矩阵中存在至少一个零行对应的 $b$ 中的元素不为 $0$ ，如果把它写成方程形式，就是这样：

$$0 = b (b \ne 0)$$

方程组中这个方程显然矛盾，所以整个方程组无解。

推论3: 若 $AX = b$，称 $AX = 0$ 为 $AX = b$ 的 导出方程组

性质

1. 设 $AX_1 = AX_2 = b$，则 $X_1 - X_2$ 是 $AX = 0$ 的解向量。

   证: $A(X_1 - X_2) = AX_1 - AX_2 = b - b = 0$

2. 设 $AX_0 = b$，$AX = 0$，则 $X_0 + X$ 的一个解向量。

   证: $A(X_0 + X) = AX_0 + AX = b + 0 = b$

定理 2.4.2： 设 $AX = b$ 有无穷多解，则其通解为

$$X = X_0 + k_1X_1 + \cdots + k_tX_t$$

其中 $X_0$ 为 $AX = b$ 的一个特解。

$X_1, \cdots, X_t$ 为 $AX = 0$ 的一个基础解系。

例: 已知

$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ 3x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_1 + ax_2 + 26x_3 = 5 \end{cases}$

的两个解 $(1, 1, -1)^T$ 和 $(-5, -3, 9)^T$ 求其一般解。

解: $\because$ 已知两个解（所以原方程组有无穷多解），$\therefore r(A) < 3$。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & a & 26 \end{bmatrix}$

$\because (1, 1, 1) \text{ 和 } (3, -2, 1) \text{ 线性无关，}$

$\therefore r(A) \geq 2$。

$\therefore r(A) = 2$。

$\therefore A \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0$ 基础解系

$\boldsymbol{\xi}_1 = (1, 1, -1)^T - (-5, -3, 9)^T$

$\therefore$ 一般解 $X = X_0 + k_1 \boldsymbol{\xi}_1$

其中 $X_0 = (1, 1, -1)^T$ 或 $(-5, -3, 9)^T$

$k_1$ 为任一常数。

小结:

1. 求线性表出。
2. 判别线性相关性
3. 求向量组的秩与极大无关组
4. 求矩阵的秩。
5. 求齐次线性方程组的基础解系。
6. 求非齐次线性方程组的一般解。

(45题推广)

证明：$A_{m\times n}X_{n\times s} = B_{m\times s}$ 有解 $\Leftrightarrow r(A) = r([A\ B])$

1. 充分性：

   证：将 $A$ 按列分块，$B$ 拉到分，$X$ 按元素分块。

   设：

   $$A = [\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n]$$

   $$B = [B_1,\ B_2,\ \cdots,\ B_s]$$

   $$X = [x_{ij}]_{n\times s}$$

   则：

   $$AX = [\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n][x_{ij}]_{n\times s} = \left[\sum_{i=1}^n \alpha_i x_{i1},\ \cdots,\ \sum_{i=1}^n \alpha_i x_{is}\right] = [B_1,\ \cdots,\ B_s]$$

   所以：

   $$\sum_{i=1}^n \alpha_i x_{ij} = B_j \quad (j = 1, 2, \cdots, s)$$

   即：$\{B_1,\ \cdots,\ B_s\}$ 可由 $\{\alpha_1,\ \cdots,\ \alpha_n\}$ 线性表出。

   显然，$\{\alpha_1,\ \cdots,\ \alpha_n\}$ 也可由 $\{\alpha_1,\ \cdots,\ \alpha_n,\ B_1,\ \cdots,\ B_s\}$ 线性表出。

   故：

   $$\{\alpha_1,\ \cdots,\ \alpha_n\} \subseteq \{\alpha_1,\ \cdots,\ \alpha_n,\ B_1,\ \cdots,\ B_s\}$$

   因此二者秩相同，即：

   $$r(A) = r([A\ B])$$

2. 必要性：反过来写即可。请读者自己证明。

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2025/11/12 08:51

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