设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵。用初等变换将 $\lambda I - A$ 化为对角矩阵（Smith 标准形，且使对角线最高次项系数均为 1），然后把主对角元分解成互不相同的对应一次因子幂之积，形式如 $(\lambda - a_1)^{m_1}, (\lambda - a_2)^{m_2}, \dots$ 。对角线中所有指数大于 0 的一次因子的幂都称为 $A$ 的初等因子。

例：求矩阵的初等因子

求矩阵 $A = \begin{bmatrix} 4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1 \end{bmatrix}$ 的初等因子。

解：计算 $\lambda I - A \to \dots \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & (\lambda - 1)(\lambda + 2) & 0 \\ 0 & 0 & \lambda - 1 \end{bmatrix}$

技巧： 若能将行列化为常数，则简化计算。

由上式得，该矩阵的初等因子为： $\lambda - 1, \lambda - 1, \lambda + 2$ 。

三、Jordan 标准形的构造与变换阵 $P$

定理 5.4.4

设 $n$ 阶方阵 $A$ 的初等因子为 $(\lambda - a_1)^{m_1}, (\lambda - a_2)^{m_2}, \dots, (\lambda - a_s)^{m_s}$ 。则 $A$ 的 Jordan 标准形为：

J = \begin{bmatrix} J_1 & & \\ & \ddots & \\ & & J_s \end{bmatrix}

其中每个 $J_i$ 是以 $a_i$ 为主对角元、阶数为 $m_i \times m_i$ 的 Jordan 块。

求变换矩阵 $P$ 的方法

存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = J$ 。称 $P$ 为相似变换矩阵。

注意： $(\lambda - a_i)^{m_i}$ 中是减号。

方法一：待定系数法 (由 $AP = PJ$ )

由 $P^{-1}AP = J \Rightarrow AP = PJ$ 。
将 $P$ 按列分块： $P = [X_1, X_2, \dots, X_n]$ 。
比较对应列： $[AX_1, AX_2, \dots, AX_n] = [X_1, \dots, X_n] J$ $[A X_{1}, A X_{2}, \dots, A X_{n}] = [X_{1}, \dots, X_{n}] J$ 。
- 若 $J$ 为单一 Jordan 块，则有： $AX_1 = a_{11} X_1$ $AX_2 = a_{12} X_1 + a_{22} X_2$ $\vdots$ $AX_n = a_{n-1,n} X_{n-1} + a_{nn} X_n$

方法二：特征值法 (利用几何重数 $q$ )

先求 $A$ 的特征值 $\lambda_i$ ，计算其几何重数 $q$ （即对应解空间维数）。
对应初等因子的个数为 $q$ 。且初等因子的指数之和等于其代数重数 $p$ 。
初等因子形式为 $(\lambda - \lambda_0)^{m_1}, (\lambda - \lambda_0)^{m_2}, \dots$ ，且 $m_1 + m_2 + \dots = p$ 。

第五章小结

1. 特征值与特征向量

概念、性质、计算。
核心方程： $AX = \lambda X$ 。

2. 矩阵的相似对角化

判定： $n$ 个线性无关的特征向量。
重要定理之一： 证明过程需掌握。
计算：构造 $P$ 与 $\Lambda$ 。

3. 实对称矩阵

性质：特征值均为实数，属于不同特征值的特征向量正交。
对角化计算：利用正交阵 $Q$ （需进行施密特正交化与单位化）。

4. Jordan 标准形

初等因子的求解。
Jordan 块的构造。
相似变换阵 $P$ 的求法。

更新日志

2026/1/10 08:47

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0050c-update于 2026/1/10

一、矩阵

二、线性方程组

三、线性空间与线性变换

四、行列式

五、特征值与特征向量

六、二次型和正定矩阵

计算机基础

5.4 Jordan 标准形

一、Jordan 块与初等因子

1. Jordan 块

2. Jordan 形矩阵

定理 5.4.1

$\lambda$ 矩阵定义

$A(\lambda)$ 的初等变换

3. 初等因子的定义