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外观

3.3 线性子空间

约 373 字大约 1 分钟

2025-11-12

这一部分在教学时被提到了 3.2 节前面，老师这么讲一定有他的深意……

定义3.3.1

设VV是F\mathbb{F}上的线性空间，若W⊆V, W≠∅W \subseteq V,\ W \neq \emptyset， 且WW对VV的两种线性运算也满足8条运算，则WW也是VV的线性子空间（简称子空间）。

定理3.3.1

设VV是线性空间，W⊆V, W≠∅W \subseteq V,\ W \neq \emptyset。若：

  1. WW 对加法封闭
  2. WW 对数乘封闭

则 WW 是 VV 的一个子空间。

例3.3.1：

  • 平凡子空间：VV与{0}\{0\}
  • 非平凡子空间：除VV与{0}\{0\}以外的子空间

定理3.3.2

设 α1,…,αm\alpha_1,\dots,\alpha_m 是线性空间 VV 中 mm 个向量，则 VV 的子集：

L(α1,…,αm)={k1α1+k2α2+⋯+kmαm∣k1,…,km∈F}L(\alpha_1,\dots,\alpha_m) = \{k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_m\alpha_m \mid k_1,\dots,k_m \in \mathbb{F}\}

构成 VV 的子空间，称由向量组 α1,…,αm\alpha_1,\dots,\alpha_m 生成的子空间 ，记为 L(α1,…,αm)L(\alpha_1,\dots,\alpha_m) 。

例3.3.4：AX=0AX=0的基础解系X1,…,XnX_1,\dots,X_n，则N(A)=L(X1,…,Xn)N(A) = L(X_1,\dots,X_n)（dim⁡N(A)=n\dim N(A)=n）。

例3.3.5：列空间R(A)R(A)（A=[α1,…,αn]A=[\alpha_1,\dots,\alpha_n]），则R(A)=L(α1,…,αn)R(A) = L(\alpha_1,\dots,\alpha_n)。

子空间的交与和

1. 交空间

若W1,W2W_1,W_2是VV的两个子空间，则W1∩W2W_1 \cap W_2也是VV的子空间。 证明：

  • W1∩W2W_1 \cap W_2非空
  • 对加法封闭：∀α1,α2∈W1∩W2\forall \alpha_1,\alpha_2 \in W_1 \cap W_2，则 α1+α2∈W1\alpha_1+\alpha_2 \in W_1且α1+α2∈W2\alpha_1+\alpha_2 \in W_2，故α1+α2∈W1∩W2\alpha_1+\alpha_2 \in W_1 \cap W_2
  • 对数乘封闭

2. 和空间

{α1+α2∣α1∈W1, α2∈W2}\{ \alpha_1+\alpha_2 \mid \alpha_1 \in W_1,\ \alpha_2 \in W_2 \}称为W1W_1与W2W_2的和空间，记为W1+W2W_1+W_2。

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2025/11/12 09:53
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