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3.6 线性映射

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2026-01-08

一、映射 (Mapping)

定义 3.6.1

若给定两个非空集合 A,BA, B 的一个法则 ff，使得对 ∀x∈A\forall x \in A，存在唯一的 y∈By \in B 与之对应，则称 ff 是从 AA 到 BB 的一个映射，记为 f:A→Bf: A \to B。

  • 一个集合到自身的映射称为变换。

定义 3.6.2

  • 满射 (Surjection)：BB 中每个元素都有原像。
  • 单射 (Injection)：不同元素对应不同像。
  • 双射 (Bijection)：既是单射又是满射（一一对应）。

定义 3.6.3

  • 恒等映射：σ(x)=x\sigma(x) = x，记为 ϵ\epsilon 或 II。
  • 零映射：σ(x)=θ\sigma(x) = \theta，记为 0‾\underline{0}。

定义 3.6.4

设 σ:A→B,τ:B→C\sigma: A \to B, \tau: B \to C，则复合映射定义为 τ(σ(a))\tau(\sigma(a))，记为 τσ:A→C\tau\sigma: A \to C。

二、线性映射 (Linear Mapping)

定义 3.6.5

设 V1,V2V_1, V_2 是两个线性空间。若映射 σ:V1→V2\sigma: V_1 \to V_2 满足：对 ∀α,β∈V1,k∈F\forall \alpha, \beta \in V_1, k \in F，

  1. σ(α+β)=σ(α)+σ(β)\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta) （可加性）
  2. σ(kα)=kσ(α)\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha) （齐次性） 则称 σ\sigma 为从 V1V_1 到 V2V_2 的线性映射。
  • 等价于：σ(kα+lβ)=kσ(α)+lσ(β)\sigma(k\alpha + l\beta) = k\sigma(\alpha) + l\sigma(\beta)。

例 3.6.3：恒等映射 σ(α)=α\sigma(\alpha) = \alpha 和零映射 σ(α)=θ\sigma(\alpha) = \theta 均为线性映射。

性质 3.6.1

设 σ\sigma 是线性映射 σ:V1→V2\sigma: V_1 \to V_2：

  1. σ(θ1)=θ2\sigma(\theta_1) = \theta_2。
  2. σ\sigma 保持线性组合和线性关系式不变。
  3. σ\sigma 把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
  • 注：线性无关的向量组在线性映射下的像可能变成线性相关（例如零映射）。

三、线性映射的矩阵表示

定义 3.6.6

设 σ:V1→V2\sigma: V_1 \to V_2 是线性映射。 取 V1V_1 的一组基 α1,…,αn\alpha_1, \dots, \alpha_n，取 V2V_2 的一组基 β1,…,βm\beta_1, \dots, \beta_m。 若基向量的像可以表示为：

{σ(α1)=a11β1+a21β2+⋯+am1βmσ(α2)=a12β1+a22β2+⋯+am2βm⋮σ(αn)=a1nβ1+a2nβ2+⋯+amnβm\begin{cases} \sigma(\alpha_1) = a_{11}\beta_1 + a_{21}\beta_2 + \dots + a_{m1}\beta_m \\ \sigma(\alpha_2) = a_{12}\beta_1 + a_{22}\beta_2 + \dots + a_{m2}\beta_m \\ \vdots \\ \sigma(\alpha_n) = a_{1n}\beta_1 + a_{2n}\beta_2 + \dots + a_{mn}\beta_m \end{cases}

即：[σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)]=[β1,β2,…,βm]A[\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \dots, \sigma(\alpha_n)] = [\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m] A 则称 m×nm \times n 矩阵 A=(aij)A = (a_{ij}) 为 σ\sigma 在这两组基下的矩阵表示。

例 3.6.12：求导映射 D:P[x]n+1→P[x]nD: P[x]_{n+1} \to P[x]_n 的矩阵表示。

定理 3.6.2

设 σ:V1→V2\sigma: V_1 \to V_2 是线性映射，α1,…,αn\alpha_1, \dots, \alpha_n 与 α1′,…,αn′\alpha'_1, \dots, \alpha'_n 是 V1V_1 的两组基，且过渡矩阵为 PP； β1,…,βm\beta_1, \dots, \beta_m 与 β1′,…,βm′\beta'_1, \dots, \beta'_m 是 V2V_2 的两组基，且过渡矩阵为 QQ。 若 σ\sigma 在原基下的矩阵为 AA，在新基下的矩阵为 BB，则：

B=Q−1APB = Q^{-1}AP

称 A,BA, B 矩阵相抵。

四、同构映射 (Isomorphism)

定义 3.6.7

若 σ:V1→V2\sigma: V_1 \to V_2 满足以下性质： i) σ\sigma 是双射； ii) σ\sigma 是线性映射。 则称 σ\sigma 是 V1V_1 到 V2V_2 的同构映射，并称 V1V_1 与 V2V_2 同构，记为 V1≅V2V_1 \cong V_2。

定理 3.6.3

设 V1,V2V_1, V_2 是域 FF 上的线性空间，则：

V1≅V2  ⟺  dim⁡V1=dim⁡V2V_1 \cong V_2 \iff \dim V_1 = \dim V_2

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2026/1/8 10:28
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