概念

1. 数域下
2. 向量空间：$\mathbb{F}^n$（全体$n$元向量构成的集合）
3. 矩阵空间：$\mathbb{F}^{m \times n}$

定义3.1.1 线性空间$V$（非空集合）：

1. 有加法
2. 有数乘（乘法）
3. 满足8条运算律（详细定义参考P32） 称$V$中的元素为向量。

常见线性空间：

• $\mathbb{R}^n$：实向量空间
• $\mathbb{C}^n$：复向量空间
• $\{0\}$：零空间
• $\mathbb{F}^{m \times n}$：全体$m \times n$矩阵构成的矩阵空间
• $N(A)$（$A \in \mathbb{F}^{m \times n}$）：$AX=0$的解空间
• $\mathbb{F}[x]_n$：多项式空间

性质：

1. $0$向量、负向量唯一
2. $0 \cdot \alpha = 0,\ k \cdot 0 = 0$
3. $k(-\alpha) = -k\alpha = -(k\alpha)$
4. $k\alpha = 0 \implies k=0$或$\alpha=0$

更新日志

2025/11/12 09:53

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