一、求解线性方程组

对于方阵方程组 $A_{n \times n}X = b$： 若 $D = |A_{n \times n}| \neq 0$，则方程组有唯一解。这就是 Cramer 法则。

推论： 若齐次方程组 $AX = 0$ 有非零解，则 $|A| = 0$。

例： 讨论方程组 $\begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{bmatrix}$ 的解的情况。 讨论：

1. $D = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (a+2)(a-1)^2 \neq 0$， 即 $a \neq -2$ 且 $a \neq 1$ 时，方程组有唯一解。
2. 当 $a = -2$ 时： $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$，$r(A) \neq r(\bar{A}) \Rightarrow$ 无解。
3. 当 $a = 1$ 时：

   $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

   则此时有 有无穷多解。

二、方阵可逆的条件

定义：伴随矩阵

设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 是 $n$ 阶方阵，$A_{ij}$ 是 $|A|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。称 $n$ 阶方阵：

$$A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{bmatrix}$$

为 $A$ 的伴随矩阵，记为 $A^*$。

重要

注意： 第 $i$ 行元素的代数余子式排在第 $i$ 列。

性质与定理

1. 性质： $AA^* = A^*A = |A|I$ 。
2. 定理： $|A| \neq 0 \iff A$ 满秩。
3. 定理： $A$ 可逆 $\iff |A| \neq 0$。当 $A$ 可逆时，$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$。

例：二阶矩阵的逆

若 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，当 $ad-bc \neq 0$ 时：

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

常用性质小结

• $|A^{-1}| = |A|^{-1}$
• $|A^*| = |A|^{n-1}$
• $(A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|} A$
• $(A^{-1})^* = \frac{1}{|A|} A$
• $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$

矩阵秩的判定

定义

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，任取 $k$ 行与 $k$ 列，其交点上的 $k^2$ 个元素按原次序排列构成的行列式，称为 $A$ 的 $k$ 阶子式。 特别地，当 $i_1=j_1, \dots, i_k=j_k$ 时称为 $k$ 阶主子式。

定理

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，则 $r(A) = r \iff$ $A$ 有 $r$ 阶子式不为零，且若 $r+1$ 阶子式存在，则它们的值都为 0。

本章小结

1. $n$ 阶行列式的计算。
2. Cramer 法则解方程组。
3. 伴随矩阵。
4. 矩阵可逆的判定。
5. 行列式与矩阵秩的关系。

更新日志

2026/1/10 06:33

查看所有更新日志

• 3f2f3-update于 2026/1/10

编辑此页

贡献者: modenicheng