对角化的判定

若

$$P^{-1}AP = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$$

令 $P = [X_1, X_2, \dots, X_n]$， 上式左右同时左乘 $P$，得：

$$AP = P\Lambda$$

则由 $AP = P\Lambda$ 可得：

$$[AX_1, AX_2, \dots, AX_n] = [\lambda_1 X_1, \lambda_2 X_2, \dots, \lambda_n X_n]$$

即 $AX_i = \lambda_i X_i \quad (i=1, 2, \dots, n)$。 由于 $P$ 可逆，则 $X_1, \dots, X_n$ 线性无关且均不为零。

定理 5.2.1（本章最重要的两个定理之一）

$n$ 阶方阵 $A$ 可对角化 $\iff A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

证明思路： （充分性见上述推导过程，必要性同理）。 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $X_1, \dots, X_n$，对应特征值为 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$。 则 $AX_i = \lambda_i X_i \quad (i=1, 2, \dots, n)$。 令 $P = [X_1, X_2, \dots, X_n]$，由线性无关知 $P$ 可逆。 则 $AP = P\Lambda \Rightarrow P^{-1}AP = \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{bmatrix}$。

---

定理 5.2.2

设 $\lambda_1, \dots, \lambda_m$ 是 $A$ 的互不相同的特征值，则它们对应的特征向量 $X_1, \dots, X_m$ 线性无关。

数学归纳法证明过程：

1. 当 $n=1$ 时，$X_1 \neq \theta$，线性无关。
2. 假设当 $n=s-1$ 时，结论成立。
3. 当 $n=s$ 时，设：

   $$\sum_{i=1}^s k_i X_i = \theta \quad (1)$$

   左乘 $A$ 得：

   $$A \sum k_i X_i = \sum k_i \lambda_i X_i = \theta \quad (2)$$

   (2) $- \lambda_s \times$ (1) 得：

   $$\sum_{i=1}^s k_i \lambda_i X_i - \lambda_s \sum_{i=1}^s k_i X_i = \sum_{i=1}^{s-1} (\lambda_i - \lambda_s)k_i X_i = \theta$$

   由于 $\lambda_1, \dots, \lambda_{s-1}$ 与 $\lambda_s$ 均不相同，且由归纳假设 $X_1, \dots, X_{s-1}$ 线性无关， 故 $(\lambda_i - \lambda_s)k_i = 0 \Rightarrow k_i = 0 \quad (i = 1, \dots, s-1)$。 代入 (1) 式得 $k_s X_s = \theta$，由 $X_s \neq \theta$ 知 $k_s = 0$。 综上，$k_1 = k_2 = \dots = k_s = 0$，故 $X_1, \dots, X_s$ 线性无关。

推论： 若 $n$ 阶方阵有 $n$ 个不同的特征值，则该方阵必可对角化。

定理 5.2.3

设 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m$ 是 $A$ 的 $m$ 个互不相同的特征值，$X_{i1}, X_{i2}, \dots, X_{ir_i}$ 是其对应的线性无关的特征向量组， 则这些所有向量组成的向量组 $X_{11}, \dots, X_{1r_1}, \dots, X_{m1}, \dots, X_{mr_m}$ 线性无关。

几何重数与代数重数

定义 5.2.1

• 几何重数 ($q_i$)：特征值 $\lambda_i$ 对应的特征方程组 $(\lambda_i I - A)X = 0$ 的解空间的维数 $V_{\lambda_i}$。
• 代数重数 ($p_i$)：特征多项式 $|\lambda I - A| = (\lambda - \lambda_i)^{p_i} h(\lambda)$ 且 $h(\lambda_i) \neq 0$，则称 $p_i$ 为特征值的代数重数。

定理 5.2.4

$$q_i \le p_i$$

说明：

• $\sum p_i = A$ 的阶数 $n$。
• $\sum q_i = A$ 的线性无关特征向量的最大个数。

定理 5.2.5

设 $\lambda_1, \dots, \lambda_m$ 是 $n$ 阶方阵所有不同的特征值，其 $q_i, p_i$ 分别为 $\lambda_i$ 的代数重数与几何重数。则：

$$A \text{ 可对角化 } \iff q_i = p_i, \quad i=1, \dots, m$$

注： 当特征值 $\lambda_i$ 是单根时（即 $p_i=1$），由于 $q_i \ge 1$ 且 $q_i \le p_i$，必有 $q_i=1$。即单根无需判断几何重数。

更新日志

2026/1/10 08:47

查看所有更新日志

• 0050c-update于 2026/1/10
• 3f2f3-update于 2026/1/10

编辑此页

贡献者: modenicheng